Lorenz 1963
De la meteorologia al caos: el descubrimiento que cambio la ciencia
El descubrimiento accidental
En 1963, Edward Norton Lorenz, un meteorologo del MIT, publico un articulo que cambiaria para siempre nuestra comprension de los sistemas deterministas. El titulo era modesto: "Deterministic Nonperiodic Flow". Su contenido, revolucionario.
Lorenz no buscaba descubrir el caos. Estaba intentando predecir el clima. Utilizaba un ordenador Royal McBee LGP-30 para simular un modelo simplificado de la atmosfera terrestre. El modelo consistia en un sistema de ecuaciones diferenciales que describian la conveccion atmosferica, un fenomeno fundamental en la formacion del tiempo meteorologico.
Lo que descubrio fue que incluso un sistema completamente determinista, gobernado por ecuaciones fijas y sin ningun elemento aleatorio, podia comportarse de manera impredecible a largo plazo. Esta idea era tan contraria a la intuicion cientifica de la epoca que tardo anos en ser aceptada por la comunidad.
Conveccion atmosferica
Para entender el sistema de Lorenz, debemos comenzar por la conveccion de Rayleigh-Benard. Imagina una capa de fluido atrapada entre dos placas horizontales: la inferior caliente y la superior fria. Cuando la diferencia de temperatura es pequena, el calor se transmite por conduccion simple; las moleculas se agitan pero el fluido permanece en reposo macroscopico.
Pero cuando la diferencia de temperatura supera un umbral critico, el fluido comienza a moverse. Se forman celdas de conveccion: columnas de fluido caliente ascienden, se enfrian al llegar arriba, y descienden por los lados. Este patron ordenado de rollos de conveccion es lo que los fisicos llaman conveccion de Rayleigh-Benard.
Si seguimos aumentando la diferencia de temperatura, los rollos de conveccion empiezan a oscilar, luego a comportarse de forma irregular. Es en este regimen caotico donde vive el sistema de Lorenz. La atmosfera terrestre es, esencialmente, un gigantesco sistema de conveccion de Rayleigh-Benard alimentado por el sol.
Las 12 ecuaciones originales
El modelo atmosferico original de Barry Saltzman contenia doce ecuaciones diferenciales acopladas. Lorenz observo que muchos de los modos del sistema decaian rapidamente a cero, dejando solo tres variables que seguian oscilando de forma no periodica. Decidio entonces estudiar el sistema reducido de solo tres ecuaciones.
La reduccion de 12 a 3 variables no fue trivial. Requirio una serie de aproximaciones fisicas (truncar la expansion en series de Fourier del campo de velocidades y temperatura) y la identificacion de los modos dominantes. El resultado fue el sistema mas simple capaz de exhibir caos determinista continuo:
Donde \(x\) representa la intensidad de la circulacion convectiva, \(y\) la diferencia de temperatura entre las corrientes ascendente y descendente, y \(z\) la desviacion del perfil de temperatura respecto del equilibrio lineal. Los parametros \(\sigma\), \(\rho\) y \(\beta\) codifican las propiedades fisicas del fluido y la geometria del problema.
El error de redondeo
La anecdota mas famosa de la teoria del caos ocurrio en el invierno de 1961. Lorenz quiso repetir una simulacion, pero en lugar de comenzar desde el principio, tomo los valores de un punto intermedio de una corrida anterior. El problema: la impresora del LGP-30 mostraba solo tres decimales (0.506), pero la computadora trabajaba internamente con seis (0.506127).
La diferencia era de 0.000127, insignificante para cualquier calculo cotidiano. Sin embargo, al cabo de unas pocas vueltas de simulacion, la nueva trayectoria divergio completamente de la original. Lorenz esperaba obtener resultados casi identicos; en cambio, obtuvo trayectorias que no guardaban ninguna relacion.
Este momento fue el nacimiento conceptual de lo que hoy llamamos sensibilidad a las condiciones iniciales. En el lenguaje popular: el efecto mariposa. Una diferencia de una parte en diez mil podia producir resultados completamente diferentes.
"Lorenz descubrio que los sistemas deterministas pueden ser impredecibles. La sensibilidad a condiciones iniciales no es un defecto del modelo, sino una propiedad fundamental del sistema."
Contexto historico
| Ano | Evento | Significado |
|---|---|---|
| 1898 | Hadamard estudia geodesicas en superficies de curvatura negativa | Primera observacion de sensibilidad a condiciones iniciales |
| 1908 | Poincare y el problema de los tres cuerpos | Intuicion de que el determinismo no implica predictibilidad |
| 1961 | Lorenz descubre el error de redondeo | Primera evidencia computacional del caos determinista |
| 1963 | Publicacion de "Deterministic Nonperiodic Flow" | Articulo fundacional de la teoria del caos |
| 1972 | Conferencia: "Does the Flap of a Butterfly's Wings..." | Nace la metafora del efecto mariposa |
| 1975 | Li y Yorke publican "Period Three Implies Chaos" | Se acuna formalmente el termino "caos" |
| 1987 | James Gleick publica "Chaos: Making a New Science" | La teoria del caos llega al publico general |
Ejercicios
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¿Por que 3 variables?
Reflexiona sobre por que el sistema de Lorenz tiene exactamente tres variables. ¿Que propiedades se perderian con solo dos? ¿Que gano Lorenz al reducir de doce a tres?
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¿Que representa cada variable fisicamente?
Describe con tus palabras el significado fisico de \(x\), \(y\) y \(z\) en el contexto de la conveccion atmosferica. ¿Cual de ellas seria mas facil de medir en un experimento real?
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Explora en el LAB
Abre el laboratorio interactivo abajo, observa la forma del atractor de Lorenz mientras rota. ¿Puedes identificar las dos "alas"? ¿La trayectoria se repite alguna vez exactamente?
LAB: Atractor de Lorenz 3D
Visualizacion tridimensional del atractor de Lorenz con integracion RK4 y camara auto-rotatoria. Observa como la trayectoria alterna entre las dos alas sin repetirse nunca.