LECCION 08 | ~30 min

Puntos de equilibrio

Donde el movimiento se detiene... o intenta hacerlo

Puntos fijos del sistema de Lorenz

Un punto de equilibrio (tambien llamado punto fijo o punto estacionario) es un estado del sistema donde todas las derivadas temporales se anulan simultaneamente. Si el sistema llega a un punto de equilibrio, permanece ahi para siempre, a menos que una perturbacion externa lo desplace. Para encontrar los equilibrios del sistema de Lorenz, igualamos las tres derivadas a cero:

$$\frac{dx}{dt} = \sigma(y - x) = 0$$ $$\frac{dy}{dt} = x(\rho - z) - y = 0$$ $$\frac{dz}{dt} = xy - \beta z = 0$$

De la primera ecuacion, dado que $\sigma \neq 0$, obtenemos inmediatamente $y = x$. Sustituyendo en la tercera ecuacion: $x^2 = \beta z$, es decir, $z = x^2/\beta$. Llevando ambas relaciones a la segunda ecuacion:

$$x\left(\rho - \frac{x^2}{\beta}\right) - x = 0 \quad \Longrightarrow \quad x\left[(\rho - 1) - \frac{x^2}{\beta}\right] = 0$$

Esta ecuacion tiene la solucion trivial $x = 0$ y, cuando $\rho > 1$, dos soluciones adicionales: $x = \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)}$. Asi descubrimos los tres puntos de equilibrio del sistema de Lorenz.

El origen (0, 0, 0)

El primer equilibrio es siempre el origen, que existe para cualquier valor de los parametros. Fisicamente, representa el estado de reposo absoluto: no hay conveccion ($x = 0$), no hay diferencia horizontal de temperatura ($y = 0$), y el perfil vertical de temperatura es exactamente lineal ($z = 0$). Es el estado de conduccion pura.

Cuando $\rho < 1$, el gradiente termico es insuficiente para vencer la viscosidad, y el origen es el unico equilibrio del sistema. Toda perturbacion decae exponencialmente. Pero al cruzar $\rho = 1$, se produce una bifurcacion de horquilla (pitchfork): el origen se vuelve inestable y nacen dos nuevos equilibrios.

Los puntos C+ y C-

Cuando $\rho > 1$, aparecen dos puntos de equilibrio simetricos, denominados $C^+$ y $C^-$:

$$C^{\pm} = \left(\pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\; \pm\sqrt{\beta(\rho - 1)},\; \rho - 1\right)$$

Para los parametros clasicos de Lorenz ($\sigma = 10$, $\rho = 28$, $\beta = 8/3$), las coordenadas numericas son:

$$C^+ \approx (+8.485,\; +8.485,\; 27), \qquad C^- \approx (-8.485,\; -8.485,\; 27)$$

Ambos puntos tienen la misma coordenada $z = \rho - 1$, y sus coordenadas $x$ e $y$ son iguales entre si pero con signo opuesto entre $C^+$ y $C^-$. Esta simetria refleja la invarianza del sistema bajo $(x, y, z) \to (-x, -y, z)$. Fisicamente, $C^+$ y $C^-$ representan conveccion estacionaria en sentido horario y antihorario respectivamente.

Linealizacion y Jacobiano

Para determinar la estabilidad de cada equilibrio, linealizamos el sistema calculando la matriz Jacobiana, que contiene las derivadas parciales de cada ecuacion respecto de cada variable. Para el sistema de Lorenz, la Jacobiana general es:

$$J = \begin{pmatrix} -\sigma & \sigma & 0 \\ \rho - z & -1 & -x \\ y & x & -\beta \end{pmatrix}$$

La estabilidad local de un equilibrio se determina evaluando $J$ en ese punto y analizando los eigenvalores del resultado. Si todos los eigenvalores tienen parte real negativa, el equilibrio es estable (atractor local). Si al menos uno tiene parte real positiva, es inestable.

Jacobiano en el origen

En el punto $(0, 0, 0)$, la Jacobiana se simplifica notablemente:

$$J_O = \begin{pmatrix} -\sigma & \sigma & 0 \\ \rho & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -\beta \end{pmatrix}$$

El bloque superior izquierdo 2x2 esta desacoplado de la tercera componente. El tercer eigenvalor es simplemente $\lambda_3 = -\beta < 0$. Los otros dos eigenvalores del bloque 2x2 se obtienen resolviendo:

$$\lambda_{1,2} = \frac{-(\sigma + 1) \pm \sqrt{(\sigma + 1)^2 + 4\sigma(\rho - 1)}}{2}$$

Cuando $\rho > 1$, el discriminante es positivo y $\lambda_1 > 0$: el origen es un punto de silla (saddle point) con una direccion inestable. Cualquier perturbacion infinitesimal en esa direccion crece exponencialmente, alejando la trayectoria del origen.

Jacobiano en C+ y C-

Evaluando la Jacobiana en $C^+ = (\sqrt{\beta(\rho-1)},\; \sqrt{\beta(\rho-1)},\; \rho-1)$:

$$J_{C^+} = \begin{pmatrix} -\sigma & \sigma & 0 \\ 1 & -1 & -\sqrt{\beta(\rho-1)} \\ \sqrt{\beta(\rho-1)} & \sqrt{\beta(\rho-1)} & -\beta \end{pmatrix}$$

La ecuacion caracteristica $\det(J - \lambda I) = 0$ produce un polinomio cubico. Sus raices dependen de $\rho$ de forma critica.

Eigenvalores y estabilidad

El comportamiento de los eigenvalores de $C^{\pm}$ cambia cualitativamente en funcion de $\rho$. Existe un valor critico $\rho_H$ donde ocurre una bifurcacion de Hopf:

$$\rho_H = \sigma\,\frac{\sigma + \beta + 3}{\sigma - \beta - 1} \approx 24.74 \quad (\text{para } \sigma=10, \beta=8/3)$$

Para $1 < \rho < \rho_H$: los eigenvalores de $C^{\pm}$ son complejos con parte real negativa. Los equilibrios son espirales estables: las trayectorias cercanas se enrollan hacia ellos y convergen. El sistema exhibe comportamiento transitorio oscilatorio pero predecible.

Para $\rho > \rho_H$: la parte real de los eigenvalores complejos se vuelve positiva. Los $C^{\pm}$ se convierten en espirales inestables (foco-silla). Las trayectorias se acercan temporalmente pero son expulsadas en espiral. Es aqui donde emerge el atractor extrano.

Con los parametros clasicos ($\rho = 28 > \rho_H$), los eigenvalores de $C^+$ son aproximadamente $\lambda_1 \approx -13.85$ (real negativo, atraccion rapida) y $\lambda_{2,3} \approx 0.09 \pm 10.19i$ (complejos con parte real positiva, espiral inestable).

Equilibrio	Coordenadas ($\rho=28$)	Tipo	Estabilidad
Origen	$(0, 0, 0)$	Nodo-silla	Inestable ($\rho > 1$)
$C^+$	$(+8.49, +8.49, 27)$	Foco-silla	Inestable ($\rho > \rho_H$)
$C^-$	$(-8.49, -8.49, 27)$	Foco-silla	Inestable ($\rho > \rho_H$)

"Los puntos C+ y C- son los 'ojos' de la mariposa de Lorenz. El atractor orbita alrededor de ambos, saltando entre ellos de forma aparentemente aleatoria. La trayectoria es atraida hacia cada ojo, gira varias veces en espiral, y luego es lanzada hacia el otro."

Bifurcacion de Hopf subcritica

La transicion en $\rho = \rho_H$ es una bifurcacion de Hopf subcritica. A diferencia de la bifurcacion de Hopf supercritica (donde nace un ciclo limite estable), aqui la inestabilidad aparece abruptamente. No existe un ciclo limite estable alrededor de $C^{\pm}$ justo despues de $\rho_H$; en cambio, las trayectorias son expulsadas directamente al atractor extrano.

Este caracter subcritico explica la coexistencia de atractores en cierto rango de $\rho$: para valores ligeramente menores que $\rho_H$, los $C^{\pm}$ son estables localmente, pero una perturbacion suficientemente grande puede enviar la trayectoria al atractor caotico que ya existe como estructura global. La cuenca de atraccion de $C^{\pm}$ se encoge a medida que $\rho$ se acerca a $\rho_H$.

Ejercicios

Calcula los equilibrios para $\rho = 15$, $\beta = 8/3$.
Sustituye en la formula: $C^{\pm} = (\pm\sqrt{(8/3)(15-1)},\; \pm\sqrt{(8/3)(14)},\; 14)$. ¿Son $C^{\pm}$ estables o inestables para este valor de $\rho$? Compara con $\rho_H \approx 24.74$.
Analiza la estabilidad del origen para $\rho = 0.5$.
Sustituye $\rho = 0.5$ en la formula de eigenvalores del origen. ¿Son ambos negativos? ¿Que predice esto sobre la dinamica? Verifica en el LAB moviendo el slider de $\rho$ por debajo de 1.
Explora la transicion en el LAB.
Usa el slider de $\rho$ para recorrer lentamente de $\rho = 20$ a $\rho = 30$. ¿Puedes identificar el momento en que la trayectoria deja de converger a $C^{\pm}$ y comienza a alternar entre ambos? Ese es el umbral de Hopf.

LAB: Equilibrios y atractor de Lorenz

Proyeccion 2D del atractor de Lorenz en el plano $x\text{-}z$, con los tres puntos de equilibrio marcados. El punto blanco es el origen, el punto cyan es $C^+$, y el violeta es $C^-$. Mueve el slider de $\rho$ para ver como los equilibrios se desplazan y la dinamica cambia.

lorenz-equilibria-2d.js

ρ 28.0

Origen C+ C-

Equilibrio	Coordenadas (\(\rho=28\))	Tipo	Estabilidad
Origen	\((0, 0, 0)\)	Nodo-silla	Inestable (\(\rho > 1\))
\(C^+\)	\((+8.49, +8.49, 27)\)	Foco-silla	Inestable (\(\rho > \rho_H\))
\(C^-\)	\((-8.49, -8.49, 27)\)	Foco-silla	Inestable (\(\rho > \rho_H\))