Las ecuaciones
Sigma, rho, beta: los tres parametros que gobiernan el caos
Anatomia de las ecuaciones de Lorenz
El sistema de Lorenz consiste en tres ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Cada ecuacion describe como cambia una de las tres variables de estado en funcion de las tres variables y de tres parametros constantes. La belleza del sistema reside en su simplicidad: solo tres variables y tres parametros producen una complejidad infinita.
El sistema completo de Lorenz
$$\frac{dx}{dt} = \sigma(y - x)$$ $$\frac{dy}{dt} = x(\rho - z) - y$$ $$\frac{dz}{dt} = xy - \beta z$$Las no linealidades aparecen en los terminos \(xz\) (en la segunda ecuacion) y \(xy\) (en la tercera). Estos productos cruzados son los responsables del comportamiento caotico. Sin ellos, el sistema seria lineal y completamente predecible. Es la interaccion no lineal entre las variables lo que genera la riqueza dinamica del atractor.
Sigma (\(\sigma\)) - El numero de Prandtl
El parametro \(\sigma\) es el numero de Prandtl, una cantidad adimensional que mide la razon entre la difusividad viscosa y la difusividad termica del fluido:
Un \(\sigma\) alto significa que el fluido transmite momento (viscosidad) mucho mas rapido que calor. Para el agua a temperatura ambiente, \(\sigma \approx 7\). Para el aire, \(\sigma \approx 0.7\). Lorenz uso el valor \(\sigma = 10\), que corresponde aproximadamente a un fluido como el agua ligeramente calentada.
En la primera ecuacion, \(\dot{x} = \sigma(y-x)\), el parametro \(\sigma\) controla la velocidad con la que la circulacion convectiva (\(x\)) se acopla a la diferencia de temperatura (\(y\)). Si \(\sigma\) es grande, \(x\) persigue a \(y\) rapidamente. Si \(\sigma\) es pequeno, la respuesta es lenta.
Rho (\(\rho\)) - El numero de Rayleigh normalizado
El parametro \(\rho\) es el numero de Rayleigh normalizado por su valor critico. El numero de Rayleigh mide la intensidad del gradiente termico que impulsa la conveccion:
Donde \(g\) es la gravedad, \(\alpha\) el coeficiente de expansion termica, \(\Delta T\) la diferencia de temperatura entre las placas, \(d\) la separacion entre ellas, \(\nu\) la viscosidad cinematica y \(\kappa\) la difusividad termica.
Cuando \(\rho < 1\), la fuerza de flotacion es insuficiente para superar la viscosidad: no hay conveccion. Cuando \(\rho > 1\), la conveccion se activa. A medida que \(\rho\) aumenta, el sistema pasa por diferentes regimenes: puntos fijos estables, ciclos periodicos, y finalmente caos. El valor clasico \(\rho = 28\) esta bien dentro del regimen caotico.
En la segunda ecuacion, \(\dot{y} = x(\rho - z) - y\), el termino \(x\rho\) representa el forzamiento termico. El termino \(-xz\) es la retroalimentacion no lineal que limita el crecimiento, y \(-y\) es la disipacion termica.
Beta (\(\beta\)) - El factor geometrico
El parametro \(\beta\) es un factor geometrico que depende de la relacion de aspecto de las celdas de conveccion:
Donde \(a\) es la razon entre el ancho horizontal y la altura vertical de la celda. Para celdas con \(a = 1/\sqrt{2}\) (relacion de aspecto critica), se obtiene \(\beta = 8/3 \approx 2.667\), el valor clasico de Lorenz.
En la tercera ecuacion, \(\dot{z} = xy - \beta z\), el termino \(xy\) genera calor por el efecto combinado de circulacion y gradiente de temperatura. El termino \(-\beta z\) disipa esta desviacion de temperatura, restaurando el perfil lineal. Un \(\beta\) mayor significa una disipacion mas rapida de las perturbaciones verticales del perfil de temperatura.
Significado fisico de cada termino
Desglosemos cada termino individualmente para entender la fisica que codifica:
Primera ecuacion: \(\dot{x} = \sigma(y - x)\)
- \(\sigma y\) — La diferencia de temperatura impulsa la circulacion
- \(-\sigma x\) — La viscosidad frena la circulacion
Segunda ecuacion: \(\dot{y} = x(\rho - z) - y\)
- \(x\rho\) — El gradiente termico externo amplifica la diferencia horizontal de temperatura
- \(-xz\) — La retroalimentacion no lineal: la circulacion mezclada con la perturbacion vertical reduce la diferencia horizontal
- \(-y\) — Disipacion termica: la difusion tiende a igualar temperaturas
Tercera ecuacion: \(\dot{z} = xy - \beta z\)
- \(xy\) — Produccion de calor: la circulacion transporta la diferencia de temperatura, desviando el perfil vertical
- \(-\beta z\) — Restauracion: la difusion vertical tiende a restaurar el perfil lineal de temperatura
"Los tres parametros controlan la frontera entre orden y caos. Sigma gobierna el acoplamiento, rho mide la fuerza del forzamiento, y beta determina la geometria de la disipacion."
| Parametro | Significado fisico | Valor clasico | Efecto al aumentar |
|---|---|---|---|
| \(\sigma\) | Numero de Prandtl: razon de difusion viscosa a termica | 10 | Acoplamiento mas rapido entre circulacion y temperatura |
| \(\rho\) | Rayleigh normalizado: gradiente termico / umbral critico | 28 | Mayor forzamiento, transiciones de regimen |
| \(\beta\) | Factor geometrico de la celda de conveccion | 8/3 | Mayor disipacion vertical, atractor mas compacto |
Ejercicios
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Fija \(\rho < 1\) en el LAB. ¿Que ocurre?
Usa el slider de \(\rho\) para reducirlo por debajo de 1. Observa como la trayectoria converge a un punto. ¿Que punto es y por que?
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Fija \(\rho = 14\). Describe el comportamiento.
¿La trayectoria es caotica o converge? ¿A que tipo de estructura se acerca? Compara con \(\rho = 28\).
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¿Que sucede con \(\sigma = 0\)?
Si la difusion viscosa es cero, la primera ecuacion se reduce a \(\dot{x} = 0\). ¿Que implica esto para el sistema? ¿Puede haber caos?
LAB: Parametros interactivos
Modifica \(\sigma\), \(\rho\) y \(\beta\) en tiempo real y observa como cambia la forma del atractor. El sistema se re-integra continuamente con cada cambio de parametros.