LECCION 09 | ~25 min

El efecto mariposa

Tres trayectorias, una verdad demoledora

Perturbaciones infinitesimales

El efecto mariposa es, posiblemente, la idea mas famosa y malinterpretada de la teoria del caos. Su nombre proviene de la conferencia que Edward Lorenz presento en 1972: "Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?". Pero mas alla de la metafora poetica, hay una afirmacion matematica precisa y cuantificable: en un sistema caotico, trayectorias que comienzan arbitrariamente cerca divergen exponencialmente en el tiempo.

Para ver esto en accion, vamos a lanzar tres trayectorias del sistema de Lorenz con condiciones iniciales casi identicas:

Trayectoria 1 (referencia): $(x_0, y_0, z_0) = (1,\; 1,\; 1)$
Trayectoria 2: $(x_0, y_0, z_0) = (1 + \epsilon,\; 1,\; 1)$ con $\epsilon = 10^{-3}$
Trayectoria 3: $(x_0, y_0, z_0) = (1 + \epsilon/10,\; 1,\; 1)$ con $\epsilon/10 = 10^{-4}$

Durante los primeros instantes de tiempo, las tres trayectorias son visualmente indistinguibles. Recorren el mismo camino en el espacio de fases, orbitan los mismos puntos de equilibrio, saltan entre las mismas alas del atractor. Un observador casual no podria separarlas.

Pero despues de un cierto tiempo de divergencia, las trayectorias se separan completamente y pierden toda correlacion. La trayectoria cyan puede estar en el ala izquierda mientras la violeta gira en el ala derecha. El tiempo exacto de divergencia depende del tamano de $\epsilon$: cuanto mas pequena la perturbacion, mas tarda en manifestarse. Pero independientemente de cuan pequena sea $\epsilon$, la divergencia siempre ocurre. No existe una precision finita que garantice predictibilidad a largo plazo.

Medicion de la divergencia

Para cuantificar la separacion entre dos trayectorias, calculamos la distancia euclidiana entre sus estados en cada instante de tiempo:

$$|\delta(t)| = \sqrt{(x_1(t) - x_2(t))^2 + (y_1(t) - y_2(t))^2 + (z_1(t) - z_2(t))^2}$$

La evolucion de $|\delta(t)|$ tiene dos fases claramente distinguibles. En la primera fase, la separacion crece exponencialmente:

$$|\delta(t)| \approx |\delta(0)|\, e^{\lambda_1 t}$$

Donde $\lambda_1$ es el maximo exponente de Lyapunov. Este crecimiento exponencial es la firma del caos. Pero no puede continuar indefinidamente: el atractor de Lorenz tiene un tamano finito (del orden de 30-40 unidades en cada eje). Cuando la separacion alcanza el diametro del atractor, se satura: las trayectorias simplemente estan en partes diferentes e incorreladas del mismo atractor.

Si graficamos $\ln|\delta(t)|$ versus $t$, la fase exponencial aparece como una recta cuya pendiente es precisamente $\lambda_1$. El punto donde la curva se aplana marca el horizonte de predictibilidad: despues de ese instante, conocer una trayectoria no dice nada sobre la otra.

Exponente de Lyapunov (intuicion)

El exponente de Lyapunov maximo $\lambda_1$ captura la tasa media de divergencia exponencial. Su definicion formal es:

$$\lambda_1 = \lim_{t \to \infty}\; \frac{1}{t} \ln \frac{|\delta(t)|}{|\delta(0)|}$$

La interpretacion es directa y poderosa:

$\lambda_1 > 0$: divergencia exponencial = caos. Las trayectorias cercanas se separan exponencialmente.
$\lambda_1 = 0$: separacion neutra. Tipico de orbitas periodicas y cuasiperiodicas.
$\lambda_1 < 0$: convergencia exponencial. Las trayectorias se atraen mutuamente (punto fijo estable).

Para el sistema de Lorenz con los parametros clasicos ($\sigma = 10$, $\rho = 28$, $\beta = 8/3$):

$$\lambda_1 \approx 0.906$$

Esto significa que la separacion se multiplica por $e \approx 2.718$ cada $1/0.906 \approx 1.1$ unidades de tiempo. O, equivalentemente, se pierde un digito decimal de precision cada $\ln(10)/\lambda_1 \approx 2.54$ unidades de tiempo. Si conocemos las condiciones iniciales con 6 decimales, toda esa informacion se agota en aproximadamente $6 \times 2.54 \approx 15$ unidades de tiempo.

Horizonte de prediccion

Podemos estimar cuanto tiempo dura nuestra capacidad predictiva. Si la incertidumbre inicial es $\epsilon$ y el tamano del atractor es $D$, el horizonte de prediccion es:

$$T_p \approx \frac{1}{\lambda_1} \ln\frac{D}{\epsilon}$$

La dependencia logaritmica es devastadora: duplicar la precision de medicion ($\epsilon \to \epsilon/2$) solo anade $\ln(2)/\lambda_1 \approx 0.77$ unidades de tiempo al horizonte. Para ganar 10 unidades mas de prediccion, necesitariamos mejorar la precision por un factor de $e^{10\lambda_1} \approx 8100$. La mejora tecnologica crece exponencialmente, pero el beneficio solo crece linealmente.

"El efecto mariposa no dice que los sistemas caoticos sean aleatorios. Son completamente deterministas. Dice que la prediccion a largo plazo es imposible en la practica, porque requeriria una precision infinita en las condiciones iniciales."

Exponentes de Lyapunov en distintos sistemas

La magnitud de $\lambda_1$ determina cuan rapido se pierde la informacion sobre las condiciones iniciales. La siguiente tabla compara varios sistemas caoticos clasicos:

Sistema	$\lambda_1$	Tipo	Dimension
Lorenz	0.906	Flujo continuo	3D
Rossler	0.071	Flujo continuo	3D
Mapa logistico ($r=4$)	0.693	Mapa discreto	1D
Henon	0.420	Mapa discreto	2D
Pendulo doble	~0.5	Flujo hamiltoniano	4D
Chua	0.32	Circuito electronico	3D
Chen	2.027	Flujo continuo	3D
Sprott B	0.20	Flujo continuo	3D
Mackey-Glass ($\tau=17$)	0.007	DDE	$\infty$-D
Tres cuerpos	~0.3	Flujo hamiltoniano	6D

Ejercicios

Mide el tiempo de divergencia en el LAB.
Observa las tres trayectorias y la grafica de $x(t)$ abajo. ¿En que instante aproximado dejan de coincidir la trayectoria cyan y la violeta? ¿Y la cyan y la rosa? ¿La diferencia en tiempo de divergencia es proporcional a $\ln(\epsilon_2/\epsilon_3)$?
Estima $\lambda_1$ visualmente.
En la grafica de series temporales, observa cuanto tarda la separacion en crecer de $10^{-3}$ a $10^0$ (un factor 1000). Si ese tiempo es $\Delta t$, entonces $\lambda_1 \approx \ln(1000)/\Delta t \approx 6.9/\Delta t$. ¿Coincide con el valor teorico de 0.906?
Cambia epsilon y observa.
Usa el slider de $\epsilon$ para cambiar la perturbacion. Con $\epsilon = 10^{-1}$, la divergencia es casi instantanea. Con $\epsilon = 10^{-6}$, las trayectorias coinciden por mas tiempo. ¿Cuantas unidades de tiempo extra ganas al reducir $\epsilon$ en un factor de 1000?

LAB: Multi-trail Lorenz

Tres trayectorias de Lorenz con condiciones iniciales casi identicas. Arriba: proyeccion $x\text{-}z$ del atractor con las tres trayectorias en colores diferentes. Abajo: series temporales $x(t)$ que revelan el momento exacto de la divergencia. Usa el slider para controlar el tamano de la perturbacion $\epsilon$.

lorenz-butterfly.js

ε 10^-3

Ref ε ε/10