Disipatividad y contraccion de volumen
Por que los atractores existen y por que son fractales
Sistemas disipativos vs conservativos
Los sistemas dinamicos se dividen en dos grandes familias segun como tratan los volumenes en el espacio de fases. Un sistema conservativo (o hamiltoniano) preserva los volumenes: si tomamos un conjunto de condiciones iniciales que ocupan un volumen \(V\) en el espacio de fases, ese volumen permanece constante conforme el sistema evoluciona. Los planetas orbitando el Sol, el pendulo ideal sin friccion, y las particulas en un gas perfecto son ejemplos de sistemas conservativos.
Un sistema disipativo, en cambio, contrae los volumenes. La misma nube de condiciones iniciales que al principio ocupa un volumen \(V\) se va encogiendo con el tiempo. La energia se disipa — se pierde como calor, friccion o radiacion — y el espacio accesible se reduce. Los atractores solo existen en sistemas disipativos: son las regiones de volumen cero (o casi cero) a las que colapsan todas las trayectorias.
Un sistema conservativo no puede tener atractores porque no pierde volumen. Las trayectorias pueden ser caoticas (el problema de tres cuerpos, por ejemplo), pero no convergen a ningun subconjunto especial del espacio de fases. En cambio, un sistema disipativo "olvida" progresivamente sus condiciones iniciales y termina confinado en un atractor de dimension inferior al espacio de fases completo.
Divergencia del campo vectorial
La herramienta matematica para cuantificar la contraccion (o expansion) de volumenes es la divergencia del campo vectorial. Para un sistema \(\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{F}(\mathbf{x})\), la divergencia es:
Si \(\nabla \cdot \mathbf{F} < 0\) en todo el espacio de fases, el sistema es disipativo: los volumenes se contraen. Si \(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\), el sistema es conservativo. Si \(\nabla \cdot \mathbf{F} > 0\), los volumenes crecen (lo cual no es fisicamente realista en la mayoria de los casos, pues implicaria una fuente infinita de energia).
La tasa de cambio del volumen es exactamente la integral de la divergencia. Un pequeno volumen \(\delta V\) evoluciona como \(\frac{d}{dt}\delta V = (\nabla \cdot \mathbf{F}) \delta V\). Si la divergencia es constante (como ocurre en el sistema de Lorenz), la solucion es una exponencial decreciente.
El teorema de Liouville
El teorema de Liouville establece que en un sistema hamiltoniano (conservativo), el flujo en el espacio de fases preserva volumenes. Esto es una consecuencia directa de las ecuaciones de Hamilton: si \(\dot{q}_i = \partial H/\partial p_i\) y \(\dot{p}_i = -\partial H/\partial q_i\), la divergencia es:
Las derivadas cruzadas se cancelan por la simetria de las derivadas parciales (teorema de Schwarz). Esto significa que el flujo hamiltoniano es incompresible: la "densidad de puntos" en el espacio de fases se conserva, como un fluido incompresible.
La consecuencia es profunda: un sistema hamiltoniano no puede tener atractores (ni repulsores). La nube de condiciones iniciales puede deformarse, estirarse y retorcerse, pero su volumen total permanece constante. Para que existan atractores, necesitamos disipacion.
Contraccion en Lorenz
El sistema de Lorenz es \(\dot{x} = \sigma(y-x)\), \(\dot{y} = x(\rho-z) - y\), \(\dot{z} = xy - \beta z\). Calculemos su divergencia:
Con los parametros estandar \(\sigma = 10\), \(\beta = 8/3\):
La divergencia es constante y negativa en todo el espacio de fases. Esto es inusual — en la mayoria de los sistemas, la divergencia depende del estado. Pero en Lorenz, la contraccion es uniforme: un volumen \(V(t)\) evoluciona como:
El volumen disminuye por un factor de \(e\) cada \(1/13.67 \approx 0.073\) unidades de tiempo. Despues de una unidad de tiempo, el volumen original se ha reducido a \(e^{-13.67} \approx 1.15 \times 10^{-6}\) de su valor inicial. La contraccion es brutal.
Por que existen atractores
Si el volumen se contrae exponencialmente, ¿a que converge? Necesariamente converge a un conjunto de volumen cero en el espacio de fases: el atractor. Pero aqui viene la sorpresa del caos: aunque el volumen es cero, la estructura del atractor puede ser infinitamente compleja.
El mecanismo es el estiramiento y plegamiento. Mientras la contraccion del volumen reduce una dimension, el sistema simultaneamente estira las otras dimensiones (esto es lo que genera la sensibilidad a condiciones iniciales). Para mantener las trayectorias acotadas, el sistema debe plegar el espacio estirado, como amasar pan.
El resultado de infinitas iteraciones de estiramiento y plegamiento es una estructura fractal: un objeto con autosimilitud a todas las escalas, con dimension no entera. El atractor de Lorenz, con su dimension fractal de ~2.06, es algo mas que una superficie (2D) pero infinitamente mas delgado que un volumen (3D). Es un objeto con infinitas "hojas" infinitamente cercanas entre si.
Idea clave
La disipatividad garantiza que existe un atractor de volumen cero. Pero la combinacion de contraccion en unas direcciones y estiramiento en otras produce un atractor con estructura fractal: las "cenizas" del volumen original, infinitamente comprimidas y plegadas.
Divergencia en sistemas clasicos
| Sistema | \(\nabla \cdot \mathbf{F}\) | Tipo | Atractor |
|---|---|---|---|
| Lorenz | \(-(\sigma+1+\beta) \approx -13.67\) | Disipativo | Extrano (d ~2.06) |
| Rossler | \(-c\) (depende del estado) | Disipativo | Extrano (d ~2.01) |
| Pendulo ideal | \(0\) | Conservativo | Ninguno |
| Kepler (2 cuerpos) | \(0\) | Conservativo | Ninguno |
| Pendulo amortiguado | \(-\gamma\) | Disipativo | Punto fijo |
| Van der Pol | \(-\mu(1-x^2)\) | Disipativo (promedio) | Ciclo limite |
Ejercicios
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01.
Calcula la divergencia del sistema de Rossler: \(\dot{x} = -y-z\), \(\dot{y} = x + ay\), \(\dot{z} = b + z(x-c)\). Con \(a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7\), ¿es la divergencia constante? ¿Que implicaciones tiene esto comparado con Lorenz?
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02.
Si la divergencia es cero (\(\nabla \cdot \mathbf{F} = 0\)), ¿puede el sistema tener un atractor? Explica usando el teorema de Liouville. ¿Que tipo de comportamiento caotico es posible en un sistema conservativo?
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03.
En el sistema de Lorenz, ¿cuanto tiempo tarda el volumen en reducirse a la mitad? Calcula \(t_{1/2}\) tal que \(V(t_{1/2}) = V(0)/2\). Pista: \(t_{1/2} = \ln 2 / |\nabla \cdot \mathbf{F}|\).
LAB: Contraccion de volumen en Lorenz
Una nube de 500 puntos iniciales distribuidos en un cubo pequeno es integrada a traves del sistema de Lorenz. Observa como el cubo se deforma y colapsa sobre el atractor. El panel inferior muestra la evolucion del volumen estimado.