Espacio de fases
La geometria oculta detras de las ecuaciones diferenciales
Que es el espacio de fases
La forma habitual de estudiar un sistema dinamico es graficar su evolucion temporal: la posicion \(x\) como funcion del tiempo \(t\). Esto nos da una curva en el plano \(x\)-\(t\) que nos dice donde esta el sistema en cada instante. Pero hay una representacion mucho mas poderosa: el espacio de fases.
En el espacio de fases, no graficamos la posicion contra el tiempo. En su lugar, graficamos la posicion contra la velocidad: \(x\) vs \(\dot{x}\). Cada punto de este espacio representa un estado completo del sistema: sabemos donde esta y hacia donde se mueve. El tiempo desaparece como eje; se convierte en un parametro implicito que dirige el flujo del sistema a traves del espacio.
Esta idea, introducida por Henri Poincare a finales del siglo XIX, transformo el estudio de los sistemas dinamicos. En lugar de resolver ecuaciones diferenciales (lo cual es frecuentemente imposible de forma analitica), podemos estudiar la geometria del espacio de fases y extraer informacion cualitativa sobre el comportamiento del sistema sin resolver nada.
Coordenadas generalizadas
Para un sistema con \(n\) grados de libertad, el espacio de fases tiene \(2n\) dimensiones: \(n\) coordenadas de posicion y \(n\) de momento (o velocidad). Un pendulo simple tiene un grado de libertad (\(\theta\)), por lo que su espacio de fases es bidimensional: \((\theta, \dot{\theta})\). Un pendulo doble tiene dos grados de libertad, y su espacio de fases es de cuatro dimensiones.
Cada punto del espacio de fases codifica toda la informacion necesaria para determinar la evolucion futura del sistema. Si conocemos \((\theta, \dot{\theta})\) en un instante dado, las ecuaciones de movimiento determinan univocamente \((\theta(t), \dot{\theta}(t))\) para todo \(t\) futuro (y pasado). El estado presente contiene toda la historia y todo el destino.
Consideremos el oscilador armonico amortiguado, uno de los sistemas mas fundamentales de la fisica:
donde \(\omega\) es la frecuencia natural y \(\gamma\) es el coeficiente de amortiguamiento. Este sistema de dos ecuaciones de primer orden es equivalente a la ecuacion de segundo orden \(\ddot{x} + \gamma\dot{x} + \omega^2 x = 0\). En el espacio de fases, cada par \((x, v)\) define un punto, y la ecuacion define un campo vectorial que indica la direccion y magnitud del flujo en cada punto.
Trayectorias y orbitas
Cuando elegimos una condicion inicial \((x_0, v_0)\) y dejamos evolucionar el sistema, el punto representativo se mueve por el espacio de fases trazando una curva llamada trayectoria u orbita. Esta curva es unica: por cada punto del espacio de fases pasa exactamente una trayectoria. Esto es consecuencia del teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Una consecuencia fundamental: las trayectorias en el espacio de fases nunca se cruzan. Si dos trayectorias se cruzaran en un punto, habria dos evoluciones futuras distintas partiendo del mismo estado, lo cual contradice el determinismo del sistema. La unica excepcion son los puntos fijos (equilibrios), donde la velocidad del flujo es cero.
Para el oscilador armonico sin amortiguamiento (\(\gamma = 0\)), las trayectorias son elipses cerradas centradas en el origen. Cada elipse corresponde a un nivel de energia diferente, y el sistema recorre su elipse periodicamente para siempre. Cuando anadimos amortiguamiento (\(\gamma > 0\)), las trayectorias se convierten en espirales que convergen al origen: la energia se disipa y el sistema se detiene.
Retratos de fase
El retrato de fase es el dibujo completo de todas las trayectorias posibles en el espacio de fases. Es como un mapa de flujo que muestra, para cualquier condicion inicial, hacia donde ira el sistema. Mirando el retrato de fase podemos responder preguntas como: ¿el sistema oscila o se detiene? ¿Hay equilibrios estables? ¿Las orbitas son periodicas o aperiodicas?
El retrato de fase captura toda la informacion cualitativa sobre el sistema. Dos sistemas con retratos de fase topologicamente equivalentes (uno se puede deformar continuamente en el otro) tienen el mismo comportamiento cualitativo, aunque sus ecuaciones sean diferentes.
Idea clave
El espacio de fases transforma una ecuacion diferencial en geometria. En lugar de resolver la ecuacion, estudiamos las curvas, los puntos fijos y el flujo. La geometria revela la estructura del sistema de forma inmediata y visual.
Tipos de retratos de fase (sistemas lineales 2D)
| Tipo | Autovalores | Forma | Estabilidad |
|---|---|---|---|
| Centro | Imaginarios puros \(\pm i\omega\) | Elipses cerradas | Neutro |
| Espiral estable | Complejos, Re < 0 | Espirales convergentes | Asintoticamente estable |
| Espiral inestable | Complejos, Re > 0 | Espirales divergentes | Inestable |
| Nodo estable | Reales negativos | Lineas convergentes | Asintoticamente estable |
| Punto silla | Reales, signos opuestos | Hiperbolas | Inestable |
Ejercicios
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01.
Dibuja el retrato de fase para un oscilador armonico sin amortiguamiento (\(\gamma = 0\)). ¿Que forma tienen las trayectorias? ¿Depende la forma del nivel de energia?
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02.
Ahora activa el amortiguamiento en la simulacion (\(\gamma > 0\)). ¿Como cambian las trayectorias? ¿Hacia donde convergen? Explica fisicamente por que el punto fijo es el origen.
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03.
¿Por que no pueden cruzarse dos trayectorias en el espacio de fases de un sistema determinista? Formula el argumento usando el teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias.
LAB: Retrato de fase del oscilador
Retrato de fase del oscilador armonico. Activa o desactiva el amortiguamiento para ver la diferencia entre centro y espiral estable. Haz clic en el canvas para lanzar nuevas trayectorias.