Leccion 04 · Sensibilidad a condiciones iniciales

El efecto mariposa

En 1972, Edward Lorenz presento una conferencia en la reunion anual de la American Association for the Advancement of Science con un titulo que se convertiria en icono de la ciencia moderna: "Does the flap of a butterfly's wings in Brazil set off a tornado in Texas?" La metafora del efecto mariposa captura una idea profunda: en un sistema caotico, perturbaciones infinitesimales pueden tener consecuencias macroscopicas.

Pero hay que ser preciso. El efecto mariposa no significa que una mariposa cause un tornado. Significa que la atmosfera es tan sensible a las condiciones iniciales que el aleteo de una mariposa puede ser la diferencia entre que un tornado ocurra o no. El tornado es causado por las leyes de la termodinamica y la mecanica de fluidos; la mariposa simplemente selecciona cual de los infinitos futuros posibles se realiza.

Esta sensibilidad no es un defecto del modelo o un artefacto numerico. Es una propiedad intrinseca de ciertos sistemas dinamicos. Incluso con ecuaciones perfectas y computadoras perfectas, la sensibilidad a las condiciones iniciales impone un limite fundamental a la prediccion. Este es el descubrimiento mas profundo de la teoria del caos.

"One meteorologist remarked that if the theory were correct, one flap of a sea gull's wings would be enough to alter the course of the weather forever. The controversy has not yet been settled, but the most recent evidence seems to favor the sea gulls."

— Edward N. Lorenz, The Essence of Chaos, 1993

Dos trayectorias, un epsilon

Para cuantificar la sensibilidad, consideremos dos estados iniciales muy cercanos: $x_0$ y $x_0' = x_0 + \delta_0$, donde $\delta_0$ es un vector de perturbacion pequeno con magnitud $\|\delta_0\| = \varepsilon$. Si el sistema es caotico, la distancia entre las dos trayectorias crece en el tiempo.

En la simulacion del LAB puedes ver este efecto en accion. Dos trayectorias del sistema de Lorenz parten de puntos que difieren en apenas $\varepsilon = 0.001$. Durante los primeros instantes, ambas trayectorias son visualmente identicas — viajan juntas por el atractor, giran alrededor de los mismos lobulos, cambian de lado en los mismos momentos. Pero despues de un tiempo critico, las trayectorias se separan abruptamente. Una gira a la derecha mientras la otra va a la izquierda. A partir de ese momento, ya no comparten ninguna similitud.

Este comportamiento es universal en todos los sistemas caoticos. No depende de la magnitud de $\varepsilon$: por pequeno que sea, siempre habra un tiempo finito tras el cual las trayectorias divergen completamente. Reducir $\varepsilon$ solo retrasa lo inevitable.

Divergencia exponencial

La separacion entre trayectorias cercanas crece exponencialmente en el tiempo. Si $\delta(t) = x(t) - x'(t)$ es el vector de separacion, para tiempos cortos se cumple:

$$\|x(t) - x'(t)\| \approx \|\delta_0\| e^{\lambda t}$$

donde $\lambda$ es el exponente de Lyapunov maximo. Si $\lambda > 0$, el sistema es caotico: las trayectorias divergen exponencialmente. Si $\lambda < 0$, convergen (sistema disipativo estable). Si $\lambda = 0$, la separacion crece linealmente o permanece constante (sistema conservativo o en bifurcacion).

Para el sistema de Lorenz con parametros estandar ($\sigma = 10, \rho = 28, \beta = 8/3$), el exponente de Lyapunov maximo es $\lambda \approx 0.906$. Esto significa que la distancia entre trayectorias cercanas se multiplica por $e \approx 2.718$ cada $1/\lambda \approx 1.1$ unidades de tiempo. En otras palabras, cada segundo se pierde aproximadamente un decimal de precision en la prediccion.

El crecimiento exponencial es devastador. Si partimos con un error de $10^{-6}$ y el limite de predictibilidad esta en una separacion de $\Delta = 1$, el horizonte de prediccion es del orden de $6/\lambda \approx 6.6$ unidades de tiempo. Si duplicamos la precision a $10^{-12}$, el horizonte solo crece a $12/\lambda \approx 13.2$. Duplicar la precision duplica el horizonte — no lo eleva al cuadrado, solo lo duplica. Esta es la tragedia del caos.

El horizonte de prediccion

Podemos calcular exactamente cuando se pierde toda capacidad predictiva. Si nuestra incertidumbre inicial es $\|\delta_0\|$ y consideramos que la prediccion es inutil cuando la separacion alcanza un valor $\Delta$ (del orden del tamano del atractor), el tiempo de prediccion es:

$$T_{\text{pred}} \approx \frac{1}{\lambda}\ln\frac{\Delta}{\|\delta_0\|}$$

Esta formula tiene consecuencias profundas. El horizonte crece solo logaritmicamente con la mejora de la precision. Mejorar la precision por un factor de 1000 (tres ordenes de magnitud) solo extiende el horizonte en $\ln(1000)/\lambda \approx 7.6$ unidades de tiempo. Para la atmosfera terrestre, con $\lambda$ del orden de $1/\text{dia}$, esto significa que triplicar la resolucion de todos los sensores meteorologicos del mundo solo anadira unos 8 dias de prediccion util.

Este es el motivo por el cual la prediccion meteorologica tiene un limite fundamental de unas 2 semanas, independientemente de la tecnologia. No es un problema de computadoras o de datos: es una propiedad matematica de las ecuaciones de Navier-Stokes en regimen turbulento.

Precision vs. horizonte de prediccion

La siguiente tabla muestra como el horizonte de prediccion crece con la precision inicial, usando $\lambda = 0.9$ (Lorenz) y $\Delta = 30$ (tamano del atractor):

Precision $\\|\delta_0\\|$	Digitos decimales	$T_{\text{pred}}$ (u.t.)	Ganancia al 10x
1	0	3.78	—
10^-3	3	11.45	+2.56
10^-6	6	19.12	+2.56
10^-9	9	26.79	+2.56
10^-12	12	34.46	+2.56

Nota: cada factor de 10 en precision anade exactamente $\ln(10)/\lambda \approx 2.56$ unidades de tiempo. La ganancia es siempre constante, independientemente del nivel de precision actual.

Ejercicios

01.

Calcula el horizonte de prediccion para un sistema con $\lambda = 0.9$, precision inicial $\varepsilon = 10^{-6}$, y tamano del atractor $\Delta = 30$. ¿Cuanto tiempo adicional ganarias si mejoraras la precision a $10^{-12}$?
02.

¿Por que duplicar la precision de la medicion inicial solo anade un tiempo constante al horizonte de prediccion? Demuestra algebraicamente que $T(\varepsilon/2) - T(\varepsilon) = \frac{\ln 2}{\lambda}$, independiente de $\varepsilon$.
03.

En el LAB de abajo, observa las dos trayectorias de Lorenz. Estima visualmente el tiempo en el que las trayectorias se separan visiblemente. Luego usa el grafico de distancia para medir el crecimiento exponencial. ¿Es aproximadamente lineal en escala logaritmica?

LAB: Divergencia de trayectorias en Lorenz

Dos trayectorias del sistema de Lorenz separadas por $\varepsilon = 0.001$. Observa como viajan juntas y luego divergen. El panel inferior muestra la distancia entre ellas en escala logaritmica.

chaos-lab::lorenz-divergence