Lección 18: Ejes, Planos y Representaciones

El Marco: $O(3)$ y $SO(3)$

Toda simetria de un poliedro centrado en el origen es una isometria lineal — una transformacion que preserva distancias y fija el origen. Estas forman el grupo ortogonal:

$$ O(3) = \{A \in \text{GL}(3, \mathbb{R}) : A^T A = I\} $$

Toda $A \in O(3)$ satisface $\det(A) = \pm 1$.

Las matrices con $\det = +1$ forman el grupo ortogonal especial $SO(3)$ — las rotaciones propias. Las de $\det = -1$ son rotaciones impropias: reflexiones, inversiones y rotorreflexiones.

Los grupos platonicos $T$, $O$, $I$ son subgrupos finitos de $SO(3)$. Un resultado clasico de la teoria de grupos establece:

Clasificacion. Los unicos subgrupos finitos de $SO(3)$ son: los ciclicos $C_n$, los diedricos $D_n$, y los tres grupos poliedricos $T$, $O$, $I$. No hay otros.

Los grupos completos $T_d$, $O_h$, $I_h$ son subgrupos finitos de $O(3)$. La relacion entre ambos niveles es: $O(3) \cong SO(3) \times \{I, -I\}$, pero a nivel de subgrupos finitos, solo el cubo y el icosaedro heredan esta factorizacion directa.

Planos de Reflexion

Una reflexion $\sigma$ a traves de un plano con normal unitaria $\mathbf{n}$ actua como:

$$ \sigma(\mathbf{x}) = \mathbf{x} - 2(\mathbf{x} \cdot \mathbf{n})\,\mathbf{n} $$

con $\det(\sigma) = -1$ y $\sigma^2 = e$. Cada plano de reflexion de un poliedro pasa por el centro y contiene al menos un eje de rotacion.

Tetraedro: 6 planos

Cada plano contiene una arista y biseca la arista opuesta.

3 pares de aristas opuestas × 2 planos = 6

Normales: $(0,1,\pm 1)$, $(1,0,\pm 1)$, $(1,\pm 1,0)$

Cubo: 9 planos

3 planos coordenados ($\sigma_h$) + 6 planos diagonales ($\sigma_d$).

Los $\sigma_h$ son perpendiculares a los ejes $C_4$; los $\sigma_d$ a los ejes $C_2$.

Normales: $(1,0,0)$, ..., $(1,\pm 1,0)$, ...

Icosaedro: 15 planos

Cada plano es perpendicular a un eje $C_2$ (por aristas).

30 aristas / 2 pares opuestos = 15

Normales: los 15 puntos medios de aristas opuestas

Patron general. Para los solidos con simetria de inversion ($\{4,3\}$ y $\{5,3\}$), cada plano de reflexion es perpendicular a un eje $C_2$ y pasa por el centro: $\sigma = i \circ C_2$. El numero de planos iguala el numero de ejes $C_2$ mas los ejes de orden superior que contienen un $C_2$. Para el tetraedro (sin inversion), cada plano contiene un eje $C_3$ y un eje $C_2$ simultaneamente.

Rotorreflexiones e Inversion

Las operaciones impropias ($\det = -1$) se clasifican en tres tipos:

Operacion	Simbolo	Descripcion	Orden
Reflexion	$\sigma$	Espejo a traves de un plano	2
Inversion	$i$	$\mathbf{x} \mapsto -\mathbf{x}$; equivale a $S_2$	2
Rotorreflexion	$S_n$	Rotacion $2\pi/n$ seguida de reflexion en plano perpendicular	$n$ o $2n$

Toda operacion impropia es una rotorreflexion $S_n$ para algun $n$. Los casos especiales son: $S_1 = \sigma$ (reflexion) y $S_2 = i$ (inversion). El orden de $S_n$ como elemento del grupo es $n$ si $n$ es par, y $2n$ si $n$ es impar.

Inventario de operaciones impropias: $T_d$ contiene $6\sigma_d + 3S_4 + 3S_4^3 = 12$ impropias. $O_h$ contiene $3\sigma_h + 6\sigma_d + i + 6S_4 + 8S_6 = 24$ impropias. $I_h$ contiene $15\sigma + i + 12S_{10} + 12S_{10}^3 + 20S_6 = 60$ impropias. En cada caso, las impropias duplican exactamente las rotaciones propias.

Clases de Conjugacion

Dos elementos $g, h \in G$ son conjugados si existe $k \in G$ tal que $h = kgk^{-1}$. Geometricamente: $g$ y $h$ son conjugados si y solo si son el mismo tipo de operacion — el mismo angulo de rotacion, pero posiblemente alrededor de ejes distintos (que la simetria del solido hace equivalentes).

Esto explica por que la tabla de conteo de la Leccion 17 se organiza naturalmente por tipos de eje: cada fila corresponde a una o dos clases de conjugacion.

Ejemplo: clases de conjugacion de $O \cong S_4$.

Clase en $S_4$	Tamano	Geometria del cubo	Angulo
$e$	1	Identidad	0°
$(12)(34)$	3	$C_4^2$: rotacion 180° por eje de caras	180°
$(123)$	8	$C_3$: rotacion 120°/240° por diagonal	120°, 240°
$(1234)$	6	$C_4$: rotacion 90°/270° por eje de caras	90°, 270°
$(12)$	6	$C_2$: rotacion 180° por eje de aristas	180°

Nota que hay 5 clases de conjugacion — esto coincide con el numero de representaciones irreducibles (Leccion avanzada). Las dimensiones de esas representaciones satisfacen $1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 = 24 = |S_4|$.

Notacion de Schoenflies

La notacion de Schoenflies, estandar en cristalografia y quimica, clasifica los grupos puntuales de simetria. Los poliedricos son:

Schoenflies	Coxeter	$\|G\|$	Descripcion
$T$	[3,3]⁺	12	Rotaciones del tetraedro
$T_d$	[3,3]	24	Tetraedro completo (con $\sigma_d$)
$T_h$	[3⁺,4]	24	Piritohedral (T + inversion, sin $\sigma_d$)
$O$	[4,3]⁺	24	Rotaciones del cubo/octaedro
$O_h$	[4,3]	48	Cubo/octaedro completo
$I$	[5,3]⁺	60	Rotaciones del dodeca/icosaedro
$I_h$	[5,3]	120	Dodeca/icosaedro completo

La notacion de Coxeter usa el simbolo de Schlafli: $[p,q]^+$ denota el grupo de rotaciones de $\{p,q\}$, y $[p,q]$ el grupo completo. Asi $[4,3]^+ = O$ y $[4,3] = O_h$. Esta notacion se extiende naturalmente a 4D: $[p,q,r]$ clasifica los politopos regulares de dimension 4.

Tablas de Caracteres

Una representacion de un grupo $G$ es un homomorfismo $\rho: G \to GL(V)$ que asigna a cada simetria una matriz invertible. El caracter de la representacion es la funcion $\chi(g) = \text{tr}(\rho(g))$ — la traza de la matriz.

Para la representacion natural (rotaciones actuando en $\mathbb{R}^3$), la traza de una rotacion por angulo $\theta$ es:

$$ \chi(\theta) = 1 + 2\cos\theta $$

Esto produce: $\chi(0°) = 3$, $\chi(180°) = -1$, $\chi(120°) = 0$, $\chi(90°) = 1$, $\chi(72°) = \varphi$, $\chi(144°) = 1-\varphi$. La proporcion aurea emerge directamente de $\cos 72°$.

Tabla de caracteres de $A_4$ (tetraedro):

$A_4$	$e$ (1)	$(12)(34)$ (3)	$(123)$ (4)	$(132)$ (4)
A	1	1	1	1
E	1	1	$\omega$	$\omega^2$
E'	1	1	$\omega^2$	$\omega$
T	3	-1	0	0

$\omega = e^{2\pi i/3}$. La representacion $T$ (dimension 3) es la accion natural sobre $\mathbb{R}^3$. Verificacion: $1^2 + 1^2 + 1^2 + 3^2 = 12 = |A_4|$.

Tabla de caracteres de $A_5$ (icosaedro):

$A_5$	$e$ (1)	$(12)(34)$ (15)	$(123)$ (20)	$(12345)$ (12)	$(12354)$ (12)
A	1	1	1	1	1
$T_1$	3	-1	0	$\varphi$	$1-\varphi$
$T_2$	3	-1	0	$1-\varphi$	$\varphi$
G	4	0	1	-1	-1
H	5	1	-1	0	0

$\varphi$ en la tabla de $A_5$. El caracter de $T_1$ en la clase de los 5-ciclos es $\chi(72°) = 1 + 2\cos 72° = 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \varphi$. La proporcion aurea no es una decoracion: emerge de la traza de la rotacion de 72° en la representacion tridimensional. Geometria, algebra y teoria de numeros se encuentran en esta unica entrada de la tabla.

Verificacion: $1^2 + 3^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 9 + 9 + 16 + 25 = 60 = |A_5|$. Las 5 representaciones irreducibles, con dimensiones 1, 3, 3, 4, 5, capturan toda la estructura algebraica del icosaedro.

Mas Alla de los Platonicos: Solidos de Arquimedes

Los solidos de Arquimedes son poliedros convexos con caras regulares de dos o mas tipos, y vertices todos equivalentes bajo simetrias (transitivos por vertices). Hay exactamente 13, y heredan los grupos de simetria de los platonicos de los que derivan.

Ya encontramos dos en este modulo: el cuboctaedro $(3.4.3.4)$ en la Leccion 15 (rectificacion del cubo, grupo $O_h$) y el icosidodecaedro $(3.5.3.5)$ en la Leccion 16 (rectificacion del dodecaedro, grupo $I_h$).

Operacion	Ejemplo	Config. vertice	Grupo
Truncar	Icosaedro truncado (balon de futbol)	5.6.6	$I_h$
Rectificar	Cuboctaedro	3.4.3.4	$O_h$
Snub	Snub cube (quiral)	3.3.3.3.4	$O$ (no $O_h$)

Los solidos snub (snub cube y snub dodecahedron) son quirales: no son congruentes con su imagen especular. Su grupo de simetria es solo el de rotaciones ($O$ o $I$), sin reflexiones. Son los unicos poliedros de Arquimedes que distinguen izquierda de derecha.

Recapitulacion del Modulo 3

L13.

Concepto de dualidad. Operador $^*$: $V \leftrightarrow F$, $E = E$, $\{p,q\}^* = \{q,p\}$. Teorema $\text{Sym}(P) = \text{Sym}(P^*)$.

L14.

Tetraedro autodual. $T^* = -T/3$, stella octangula, $K_4$, $T \cong A_4$ (12), $T_d \cong S_4$ (24).

L15.

Cubo y octaedro. Aristas perpendiculares, midsphere compartida, cuboctaedro, $O \cong S_4$ (24), $O_h$ (48).

L16.

Dodecaedro e icosaedro. Coordenadas con $\varphi$, rectangulos aureos, 5 cubos inscritos, icosidodecaedro, $I \cong A_5$ (60), $I_h$ (120).

L17.

Grupos de simetria. Axiomas, conteo sistematico de ejes, isomorfismos $T \cong A_4$, $O \cong S_4$, $I \cong A_5$, orbita-estabilizador.

L18.

Ejes, planos y representaciones. $O(3)/SO(3)$, planos de reflexion, rotorreflexiones, clases de conjugacion, Schoenflies, tablas de caracteres, Arquimedes.

Hilo conductor: la dualidad geometrica de las lecciones 13-16 revelo que los cinco solidos se organizan en tres familias de simetria. Las lecciones 17-18 develaron la estructura algebraica de esas familias: tres grupos ($A_4$, $S_4$, $A_5$) que agotan las simetrias discretas del espacio tridimensional.

Ejercicios

1. Encuentra todos los subgrupos de $A_4$. Demuestra que $A_4$ no tiene subgrupo de orden 6, a pesar de que $6 \mid 12$. ¿Que dice esto sobre el reciproco del teorema de Lagrange?

2. El centro de un grupo es $Z(G) = \{g \in G : gh = hg\;\forall h\}$. Calcula $Z(T)$, $Z(O)$ y $Z(I)$. ¿Que interpretacion geometrica tiene que los tres centros sean triviales?

3. Verifica que $\chi(72°) = 1 + 2\cos 72° = \varphi$. Luego calcula $\chi(144°)$ y verifica que da $1 - \varphi$. ¿Cual es la relacion entre las dos clases de 5-ciclos de $A_5$?

4. El snub cube tiene grupo de rotaciones $O$ (24) pero grupo completo tambien $O$ (24, no $O_h$). Explica geometricamente por que las reflexiones no son simetrias del snub cube.

5. Para el cubo, verifica que los 9 planos de reflexion se descomponen en 3 planos perpendiculares a ejes $C_4$ y 6 planos perpendiculares a ejes $C_2$. Muestra que ningun plano es perpendicular a un eje $C_3$.

Clase en \(S_4\)	Tamano	Geometria del cubo	Angulo
\(e\)	1	Identidad	0°
\((12)(34)\)	3	\(C_4^2\): rotacion 180° por eje de caras	180°
\((123)\)	8	\(C_3\): rotacion 120°/240° por diagonal	120°, 240°
\((1234)\)	6	\(C_4\): rotacion 90°/270° por eje de caras	90°, 270°
\((12)\)	6	\(C_2\): rotacion 180° por eje de aristas	180°

\(A_4\)	\(e\) (1)	\((12)(34)\) (3)	\((123)\) (4)	\((132)\) (4)
A	1	1	1	1
E	1	1	\(\omega\)	\(\omega^2\)
E'	1	1	\(\omega^2\)	\(\omega\)
T	3	-1	0	0

\(A_5\)	\(e\) (1)	\((12)(34)\) (15)	\((123)\) (20)	\((12345)\) (12)	\((12354)\) (12)
A	1	1	1	1	1
\(T_1\)	3	-1	0	\(\varphi\)	\(1-\varphi\)
\(T_2\)	3	-1	0	\(1-\varphi\)	\(\varphi\)
G	4	0	1	-1	-1
H	5	1	-1	0	0

Leccion 18 — Ejes, Planos y Representaciones

Ejes, Planos y Representaciones

El Marco: \(O(3)\) y \(SO(3)\)