Cubo y Octaedro
La pareja dual mas estudiada en geometria: \(\{4,3\} \leftrightarrow \{3,4\}\). Coordenadas, metricas y la esfera compartida.
Coordenadas Canonicas
El cubo con arista \(a = 2\) tiene vertices en todas las combinaciones de signos:
$$ C = \bigl\{(\pm 1, \pm 1, \pm 1)\bigr\} \qquad (8 \text{ vertices}) $$El octaedro regular con arista \(a = \sqrt{2}\) tiene vertices sobre los ejes coordenados:
$$ O = \bigl\{(\pm 1, 0, 0),\;(0, \pm 1, 0),\;(0, 0, \pm 1)\bigr\} \qquad (6 \text{ vertices}) $$Los 6 vertices del octaedro son los centroides de las 6 caras del cubo. Por ejemplo, la cara del cubo con \(x = 1\) tiene 4 vertices \((1, \pm 1, \pm 1)\) y centroide \((1, 0, 0)\) — exactamente un vertice del octaedro.
Verificacion: el cubo tiene 6 caras (\(x = \pm 1\), \(y = \pm 1\), \(z = \pm 1\)). Los 6 centroides son \((\pm 1, 0, 0)\), \((0, \pm 1, 0)\), \((0, 0, \pm 1)\) — los vertices del octaedro. La construccion dual produce exactamente \(O\) a partir de \(C\).
Reciprocamente, el octaedro tiene 8 caras (una en cada octante). Sus centroides son \((\pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3})\), que forman un cubo mas pequeno: el dual del octaedro es un cubo, confirmando \(\{3,4\}^* = \{4,3\}\).
El Intercambio Combinatorio
La dualidad \(\{4,3\} \leftrightarrow \{3,4\}\) intercambia vertices y caras, conservando aristas:
| \(\{p,q\}\) | V | E | F | V-E+F | |
|---|---|---|---|---|---|
| Cubo | {4,3} | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Octaedro | {3,4} | 6 | 12 | 8 | 2 |
El conteo dual confirma las relaciones:
$$ \text{Cubo: } pF = 4 \cdot 6 = 24 = 2 \cdot 12 = 2E \quad \checkmark $$ $$ \text{Cubo: } qV = 3 \cdot 8 = 24 = 2E \quad \checkmark $$Para el octaedro, \(pF = 3 \cdot 8 = 24 = 2E\) y \(qV = 4 \cdot 6 = 24 = 2E\). Las mismas ecuaciones, con \(p\) y \(q\) intercambiados.
Aristas Perpendiculares
Cada arista del cubo tiene una arista dual correspondiente en el octaedro, y son perpendiculares. Verifiquemos con un ejemplo concreto.
Tomemos la arista del cubo de \(A = (1,1,-1)\) a \(B = (1,1,1)\). Su vector director es:
$$ \vec{u} = B - A = (0, 0, 2) $$Esta arista separa las caras \(x = 1\) (centroide \(C_1 = (1,0,0)\)) e \(y = 1\) (centroide \(C_2 = (0,1,0)\)). La arista dual conecta estos centroides:
$$ \vec{v} = C_2 - C_1 = (-1, 1, 0) $$ $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (0)(-1) + (0)(1) + (2)(0) = 0 \quad \checkmark $$Perpendiculares. Esto no es coincidencia: las 12 aristas del cubo y las 12 del octaedro forman 12 pares mutuamente perpendiculares. Geometricamente, ambas aristas se cruzan en un punto de la midsphere.
Por que son perpendiculares: la arista del cubo es paralela a un eje coordenado (conecta vertices que difieren en una coordenada). La arista dual conecta centroides de dos caras adyacentes, que difieren en otras coordenadas. El producto escalar entre un vector alineado a un eje y un vector en el plano perpendicular es siempre cero.
La Midsphere Compartida
Cubo y octaedro comparten la misma midsphere (Leccion 13). Calculemos su radio para el cubo con arista \(a = 2\) (vertices en \((\pm 1,\pm 1,\pm 1)\)).
El punto medio de la arista de \((1,1,-1)\) a \((1,1,1)\) es \(M = (1, 1, 0)\). Su distancia al origen:
$$ \rho = |M| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} $$Verifiquemos con otra arista: de \((1,-1,-1)\) a \((-1,-1,-1)\), punto medio \((0,-1,-1)\), distancia \(\sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}\). Todas las aristas del cubo tienen sus puntos medios a distancia \(\sqrt{2}\) del centro.
Para el octaedro inscrito con vertices \((\pm 1, 0, 0)\), etc., la arista de \((1,0,0)\) a \((0,1,0)\) tiene punto medio \((1/2, 1/2, 0)\), con distancia \(\sqrt{1/4+1/4} = 1/\sqrt{2}\). Pero este octaedro tiene un tamano diferente al del cubo. Si normalizamos para que el octaedro tenga el mismo radio de midsphere, ambos la comparten exactamente.
Radios del cubo (arista \(a\)):
Radio circunscrito: \(R = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Radio de midsphere: \(\rho = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Radio inscrito: \(r = \frac{a}{2}\)
Radios del octaedro (arista \(a\)):
Radio circunscrito: \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Radio de midsphere: \(\rho = \frac{a}{2}\)
Radio inscrito: \(r = \frac{a\sqrt{6}}{6}\)
El cociente \(R/r\) es igual para ambos: \(R/r = \sqrt{3}\). Esto es una consecuencia directa de la dualidad, como vimos en la Leccion 13: los pares duales siempre comparten la razon \(R/r\).
Metricas Comparadas
Reunamos las formulas metricas para ambos solidos (arista \(a\)):
| Propiedad | Cubo \(\{4,3\}\) | Octaedro \(\{3,4\}\) |
|---|---|---|
| Area superficial | \(6a^2\) | \(2\sqrt{3}\,a^2\) |
| Volumen | \(a^3\) | \(\frac{\sqrt{2}}{3}\,a^3\) |
| Angulo diedro | \(90°\) | \(\arccos(-1/3) \approx 109.47°\) |
| Defecto angular | \(360° - 3 \cdot 90° = 90°\) | \(360° - 4 \cdot 60° = 120°\) |
| \(R/r\) | \(\sqrt{3} \approx 1.732\) | \(\sqrt{3} \approx 1.732\) |
Derivacion del volumen del octaedro: el octaedro con vertices \((\pm 1, 0, 0)\) etc. se descompone en dos piramides cuadradas (superior e inferior). Cada piramide tiene base cuadrada con vertices \((1,0,0)\), \((0,1,0)\), \((-1,0,0)\), \((0,-1,0)\) y apice en \((0,0,1)\) o \((0,0,-1)\).
$$ \text{Lado base} = \sqrt{2}, \quad \text{Area base} = (\sqrt{2})^2 = 2 $$ $$ V_{\text{piramide}} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 1 = \frac{2}{3}, \quad V_{\text{octaedro}} = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $$Con arista \(a = \sqrt{2}\), esto da \(V = \frac{4}{3}\). Para arista general: \(V = \frac{\sqrt{2}}{3}\,a^3\).
Angulo Diedro del Octaedro
El angulo diedro del cubo es trivialmente \(90°\) (caras perpendiculares). El del octaedro requiere calculo. Tomemos la arista compartida entre las caras \((1,0,0)-(0,1,0)-(0,0,1)\) y \((1,0,0)-(0,1,0)-(0,0,-1)\).
Las normales exteriores a estas caras son:
$$ \vec{n}_1 = (0,1,0)-(1,0,0) \times (0,0,1)-(1,0,0) = (-1,1,0) \times (-1,0,1) = (1, 1, 1) $$ $$ \vec{n}_2 = (-1,1,0) \times (-1,0,-1) = (-1, 1, -1) $$Normalizando no es necesario para el angulo — usamos el coseno:
$$ \cos\theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} = \frac{1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{-1}{3} $$ $$ \theta = \arccos\!\left(-\frac{1}{3}\right) \approx 109.47° $$Este es el mismo angulo que aparece en la quimica como el angulo tetraedrico (la molecula de metano CH\(_4\)). El octaedro y el tetraedro comparten este angulo diedro porque 109.47° = 180° - 70.53°, y el angulo diedro del tetraedro es \(\arccos(1/3) \approx 70.53°\). Son suplementarios.
El Cuboctaedro: Punto Medio entre Duales
Si cortamos los vertices del cubo hasta el punto medio de cada arista (operacion de rectificacion), obtenemos el cuboctaedro: un poliedro arquimediano con 12 vertices, 24 aristas y 14 caras.
Los 12 vertices del cuboctaedro son los puntos medios de las 12 aristas del cubo. Para el cubo \((\pm 1,\pm 1,\pm 1)\), estos puntos son todas las permutaciones de \((\pm 1, \pm 1, 0)\):
$$ \text{Cuboctaedro} = \bigl\{(\pm 1, \pm 1, 0),\;(\pm 1, 0, \pm 1),\;(0, \pm 1, \pm 1)\bigr\} $$Sus 14 caras se clasifican en:
- 8 triangulos — heredados de los 8 vertices del cubo (al cortar cada vertice, la seccion es un triangulo equilatero)
- 6 cuadrados — remanentes de las 6 caras del cubo (cada cara cuadrada, recortada en las esquinas, queda como un cuadrado mas pequeno)
Lo notable: el cuboctaedro tambien se obtiene rectificando el octaedro. Es el punto medio entre cubo y octaedro en la familia de operaciones de Conway. En la notacion de Conway, es \(a\{4,3\} = a\{3,4\}\) (la operacion ambo).
Euler se cumple: \(V - E + F = 12 - 24 + 14 = 2\). La notacion de Schlafli no se aplica (no es regular), pero su simbolo de vertice es \((3.4.3.4)\): alrededor de cada vertice, triangulo y cuadrado se alternan.
El Grupo \(O_h\): 48 Simetrias Compartidas
Como vimos en la Leccion 13, \(\text{Sym}(P) = \text{Sym}(P^*)\). Cubo y octaedro comparten el grupo de simetria \(O_h\) con 48 elementos: 24 rotaciones (grupo \(O\)) y 24 rotaciones compuestas con la inversion central.
Las 24 rotaciones del grupo \(O\) se clasifican en:
| Tipo de eje | Ejes | Rotaciones/eje | Total |
|---|---|---|---|
| Identidad | — | 1 | 1 |
| Cara-cara (cubo) = vertice-vertice (oct) | 3 | 3 (90°, 180°, 270°) | 9 |
| Vertice-vertice (cubo) = cara-cara (oct) | 4 | 2 (120°, 240°) | 8 |
| Arista-arista (ambos) | 6 | 1 (180°) | 6 |
Observa como la dualidad intercambia la interpretacion de los ejes: un eje cara-cara del cubo es un eje vertice-vertice del octaedro. Pero el eje fisico es el mismo en ambos casos.
El grupo \(O\) es isomorfo al grupo simetrico \(S_4\) (permutaciones de 4 objetos). Los "4 objetos" son las 4 diagonales principales del cubo, que cada rotacion permuta. Exploraremos esto en detalle en la Leccion 17.
Ejercicios
1. Calcula los centroides de las 8 caras del octaedro con vertices \((\pm 1, 0, 0)\), \((0, \pm 1, 0)\), \((0, 0, \pm 1)\). Verifica que forman un cubo (todos los vertices tienen la forma \((\pm c, \pm c, \pm c)\) para algun \(c\)).
2. Toma la arista del cubo de \((-1,-1,-1)\) a \((1,-1,-1)\). Identifica las dos caras que comparten esta arista, calcula sus centroides, y verifica que la arista dual resultante es perpendicular a la original.
3. El cuboctaedro tiene vertices en \((\pm 1, \pm 1, 0)\) y permutaciones ciclicas. Verifica que tiene 12 vertices, calcula el numero de aristas y caras, y comprueba \(V - E + F = 2\).
4. Demuestra que el angulo diedro del octaedro y el del tetraedro suman \(180°\). (Pista: \(\arccos(1/3) + \arccos(-1/3) = \pi\) — ¿por que?)
5. Las 4 diagonales principales del cubo conectan vertices opuestos. Escribe las 4 diagonales para el cubo \((\pm 1, \pm 1, \pm 1)\). Muestra que una rotacion de \(120°\) alrededor de la diagonal \((1,1,1)\) a \((-1,-1,-1)\) permuta ciclicamente las otras 3 diagonales.
LAB: Cubo y Octaedro Duales
Observa el cubo y el octaedro dual superpuestos. Usa el slider para interpolar entre ambos. Activa el cuboctaedro para ver el solido intermedio.