Leccion 17 — Grupos de Simetria

Que es un Grupo

Un grupo es un par \((G, \cdot)\) donde \(G\) es un conjunto y \(\cdot\) es una operacion binaria que satisface cuatro axiomas:

Ejemplo concreto. Toma dos rotaciones del tetraedro: \(r\) = rotacion 120° alrededor del eje por el vertice \((1,1,1)\), y \(s\) = rotacion 180° alrededor del eje \((1,0,0)\). La composicion \(r \cdot s\) (primero \(s\), luego \(r\)) es otra rotacion del tetraedro. El inverso \(r^{-1}\) es la rotacion 240° alrededor del mismo eje. Crucialmente, \(r \cdot s \neq s \cdot r\) en general: el grupo no es conmutativo.

El orden del grupo, \(|G|\), es el numero de elementos. Un grupo es finito si \(|G| < \infty\). Los grupos de simetria de los solidos platonicos son finitos, y su orden se puede calcular contando rotaciones sistematicamente.

Conteo Sistematico de Rotaciones

Toda rotacion no trivial de un poliedro fija un eje. Clasificamos las rotaciones segun que tipo de elemento geometrico define su eje:

La formula general para el numero de rotaciones de \(\{p,q\}\) es:

donde el 1 es la identidad, y cada sumando cuenta las rotaciones no triviales de cada tipo de eje. Para el tetraedro, que carece de elementos "opuestos", los ejes por vertices y por caras coinciden.

El Grupo \(T\): 12 Rotaciones del Tetraedro

El tetraedro \(\{3,3\}\) es especial: con \(V = F = 4\), no tiene vertices ni caras "opuestos". Cada eje pasa por un vertice y el centro de la cara opuesta, siendo simultaneamente un eje de vertice y de cara.

Isomorfismo \(T \cong A_4\). El tetraedro tiene 4 vertices. Cada rotacion los permuta. Como las rotaciones preservan orientacion, solo producen permutaciones pares. Esto da un homomorfismo inyectivo \(T \hookrightarrow A_4\). Como \(|T| = 12 = |A_4|\), es un isomorfismo.

Geometricamente: una rotacion \(C_3\) de 120° permuta 3 vertices ciclicamente y fija el cuarto — es un 3-ciclo \((abc)\), que es par. Una rotacion \(C_2\) de 180° intercambia dos pares de vertices — es un doble transposicion \((ab)(cd)\), tambien par. No aparece ninguna transposicion simple (impar).

El Grupo \(O\): 24 Rotaciones del Cubo

El cubo \(\{4,3\}\) tiene tres tipos de ejes bien diferenciados. Contemos cada uno usando las coordenadas \((\pm 1, \pm 1, \pm 1)\):

Los ejes del cubo: las 3 direcciones \((1,0,0)\), \((0,1,0)\), \((0,0,1)\) son ejes \(C_4\) (por centros de caras opuestas). Las 4 diagonales principales \((1,1,1)/\sqrt{3}\), \((1,1,-1)/\sqrt{3}\), \((1,-1,1)/\sqrt{3}\), \((-1,1,1)/\sqrt{3}\) son ejes \(C_3\). Las 6 direcciones \((1,1,0)/\sqrt{2}\), \((1,-1,0)/\sqrt{2}\), etc. son ejes \(C_2\) (por puntos medios de aristas opuestas).

Isomorfismo \(O \cong S_4\). El cubo tiene 4 diagonales principales. Cada rotacion las permuta. A diferencia del tetraedro, aqui aparecen permutaciones impares: una rotacion de 90° alrededor de un eje \(C_4\) permuta ciclicamente 4 diagonales — es un 4-ciclo, que es impar. Por tanto el homomorfismo cubre todo \(S_4\), no solo \(A_4\).

Dualidad. El octaedro \(\{3,4\}\) tiene el mismo grupo de rotaciones: \(O\). Los ejes \(C_4\) del cubo (por caras) se convierten en ejes \(C_4\) del octaedro (por vertices), y viceversa los ejes \(C_3\). Los ejes \(C_2\) permanecen (aristas duales).

El Grupo \(I\): 60 Rotaciones del Icosaedro

El icosaedro \(\{3,5\}\) con 12 vertices, 30 aristas y 20 caras produce el grupo mas grande. Sus ejes viven en las coordenadas \((0, \pm 1, \pm \varphi)\) y permutaciones ciclicas:

Isomorfismo \(I \cong A_5\). En la Leccion 16 vimos que el dodecaedro (dual del icosaedro) contiene 5 cubos inscritos. Las rotaciones del icosaedro permutan estos 5 cubos. Como toda rotacion es orientable, solo aparecen permutaciones pares. Esto da \(I \hookrightarrow A_5\), y como \(|I| = 60 = |A_5|\), es un isomorfismo.

Dualidad. El dodecaedro \(\{5,3\}\) comparte el mismo grupo \(I\). Los ejes \(C_5\) pasan por centros de caras pentagonales (del dodecaedro) o por vertices (del icosaedro); los ejes \(C_3\) hacen lo contrario.

Tabla Unificada

Un resultado clasico de la teoria de grupos establece que \(T\), \(O\) e \(I\) son los unicos grupos finitos de rotaciones propias de \(\mathbb{R}^3\) (ademas de los ciclicos \(C_n\) y los diedricos \(D_n\)). Los solidos platonicos agotan las simetrias discretas tridimensionales.

Los Grupos Completos: Reflexiones

Hasta ahora contamos solo rotaciones propias (determinante \(+1\)). Si incluimos rotaciones impropias — reflexiones, inversiones y rotorreflexiones (determinante \(-1\)) — el grupo se duplica:

Observa una coincidencia notable: \(|T_d| = 24 = |O|\). Ambos son isomorfos a \(S_4\), pero como grupos geometricos son distintos. \(T_d\) es el grupo completo del tetraedro (con reflexiones); \(O\) es el grupo de rotaciones del cubo (sin reflexiones). Actuan en objetos diferentes.

El cubo y el icosaedro poseen simetria de inversion: el punto \(-\mathbf{x}\) pertenece al solido si \(\mathbf{x}\) pertenece. Por eso sus grupos completos factorizan como producto directo \(G \times \mathbb{Z}_2\). El tetraedro carece de esta propiedad — la inversion lo transforma en su dual (otro tetraedro) — y su grupo \(T_d\) no factoriza asi.

El Teorema Orbita-Estabilizador

Un resultado central para calcular ordenes de grupos sin contar rotaciones una por una. Si un grupo \(G\) actua sobre un conjunto \(X\), para cada \(x \in X\):

Ejemplo 1: \(O\) actua sobre las 6 caras del cubo.

Todas las caras son equivalentes: \(|\text{Orb}| = 6\). Las rotaciones que fijan una cara forman \(C_4\): \(|\text{Stab}| = 4\). Luego \(|O| = 6 \times 4 = 24\). ✓

Ejemplo 2: \(O\) actua sobre los 8 vertices del cubo.

\(|\text{Orb}| = 8\), \(|\text{Stab}| = 3\) (rotaciones \(C_3\) alrededor de la diagonal por ese vertice). \(|O| = 8 \times 3 = 24\). ✓

Ejemplo 3: \(I\) actua sobre los 12 vertices del icosaedro.

\(|\text{Orb}| = 12\), \(|\text{Stab}| = 5\) (rotaciones \(C_5\) alrededor del eje por ese vertice). \(|I| = 12 \times 5 = 60\). ✓

El teorema transforma la pregunta "¿cuantas simetrias tiene este solido?" en "¿cuantos elementos son equivalentes, y cuantas simetrias fijan uno?" — que suele ser mas facil de responder.

Ejercicios