Lección 10: De {p, q} a V, E, F | Matemáticas Visuales

El Sistema de Ecuaciones

En la Leccion 7 descubrimos dos relaciones del doble conteo. En la Leccion 8 enunciamos la formula de Euler. Ahora las reunimos: un poliedro regular \(\{p, q\}\) (caras de \(p\) lados, \(q\) caras por vertice) satisface simultaneamente:

\(pF = 2E\) (doble conteo desde caras)

\(qV = 2E\) (doble conteo desde vertices)

\(V - E + F = 2\) (Euler)

Este es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas (\(V, E, F\)) y 2 parametros (\(p, q\)). Tiene solucion unica. Resolvamos.

La Derivacion

De las dos primeras ecuaciones despejamos \(V\) y \(F\) en funcion de \(E\):

\(F = \dfrac{2E}{p}, \quad V = \dfrac{2E}{q}\)

Sustituyendo en Euler:

\(\dfrac{2E}{q} - E + \dfrac{2E}{p} = 2\)

Dividimos entre \(E\) (que es positivo):

\(\dfrac{2}{q} - 1 + \dfrac{2}{p} = \dfrac{2}{E}\)

Multiplicamos todo por \(pq\):

\(2p - pq + 2q = \dfrac{2pq}{E}\)

Despejamos \(E\):

\(\displaystyle E = \frac{2pq}{2p + 2q - pq}\)

Y de aqui obtenemos las tres cantidades:

Formulas combinatorias para \(\{p, q\}\)

\(\displaystyle V = \frac{4p}{2p + 2q - pq}\)

\(\displaystyle E = \frac{2pq}{2p + 2q - pq}\)

\(\displaystyle F = \frac{4q}{2p + 2q - pq}\)

La Condicion de Existencia

Para que \(V, E, F\) sean positivos, necesitamos que el denominador sea positivo:

\(2p + 2q - pq > 0\)

Sumamos 4 a ambos lados para factorizar:

\(2p + 2q - pq + 4 > 4\)

\(-(pq - 2p - 2q + 4) > -4\)

\(pq - 2p - 2q + 4 < 4\)

\((p - 2)(q - 2) < 4\)

Esta es la misma desigualdad que aparece en la Leccion 4 del Modulo 1, pero ahora la hemos derivado algebraicamente desde Euler, no geometricamente desde los angulos. La coincidencia no es casual: la formula de Euler y la condicion angular son dos caras de la misma verdad topologica (como demostramos en la Leccion 8).

Las Cinco Soluciones

Con \(p \geq 3\) y \(q \geq 3\) (minimo triangulos, minimo 3 caras por vertice), el producto \((p-2)(q-2)\) es un entero positivo menor que 4. Sus valores posibles son 1, 2 y 3:

\((p{-}2)(q{-}2)\)	\(p\)	\(q\)	\(V\)	\(E\)	\(F\)	Solido
1	3	3	4	6	4	Tetraedro
2	3	4	6	12	8	Octaedro
2	4	3	8	12	6	Cubo
3	3	5	12	30	20	Icosaedro
3	5	3	20	30	12	Dodecaedro

Verifiquemos una entrada. Para \(\{3, 5\}\) (icosaedro):

Denominador: \(2(3) + 2(5) - 3 \cdot 5 = 6 + 10 - 15 = 1\)

\(V = 4 \cdot 3 / 1 = 12\), \(\quad E = 2 \cdot 3 \cdot 5 / 1 = 30\), \(\quad F = 4 \cdot 5 / 1 = 20\)

Verificacion: \(12 - 30 + 20 = 2\) ✓

Observa que el icosaedro tiene el denominador mas pequeno posible (1), lo que le da los numeros mas grandes. Al crecer \((p-2)(q-2)\), el denominador \(4 - (p-2)(q-2)\) se reduce, y \(V, E, F\) crecen. El tetraedro, con denominador 3, es el mas simple.

Dualidad Algebraica

Las formulas revelan una simetria notable. Si intercambiamos \(p \leftrightarrow q\):

\(V(p,q) = \dfrac{4p}{2p+2q-pq} \quad \longleftrightarrow \quad V(q,p) = \dfrac{4q}{2p+2q-pq} = F(p,q)\)

\(E(p,q) = \dfrac{2pq}{2p+2q-pq} \quad \longleftrightarrow \quad E(q,p) = \dfrac{2qp}{2q+2p-qp} = E(p,q)\)

Es decir: intercambiar \(p\) y \(q\) intercambia vertices y caras, pero conserva el numero de aristas. Esto es exactamente lo que hace la dualidad: el dual de \(\{p, q\}\) es \(\{q, p\}\).

\(\{3, 3\} \leftrightarrow \{3, 3\}\)

Tetraedro = autodual

\(V \leftrightarrow F\): 4 ↔ 4

\(\{4, 3\} \leftrightarrow \{3, 4\}\)

Cubo ↔ Octaedro

\(V \leftrightarrow F\): 8 ↔ 6, \(E = 12\)

\(\{5, 3\} \leftrightarrow \{3, 5\}\)

Dodecaedro ↔ Icosaedro

\(V \leftrightarrow F\): 20 ↔ 12, \(E = 30\)

La dualidad no es solo una curiosidad algebraica. Geometricamente, el dual se construye colocando un vertice en el centro de cada cara y conectando vertices adyacentes. El octaedro vive literalmente dentro del cubo (y viceversa). El tetraedro es especial: su dual es una copia de si mismo.

Los Casos Frontera: Teselaciones

Cuando \((p-2)(q-2) = 4\), el denominador es exactamente cero. Las formulas dan \(V, E, F \to \infty\): no obtenemos un poliedro finito, sino una teselacion del plano. Los angulos suman exactamente \(360°\) en cada vertice, y las caras se extienden sin cerrarse.

\(\{p, q\}\)	\((p{-}2)(q{-}2)\)	Teselacion
\(\{3, 6\}\)	4	Triangulos, 6 por vertice
\(\{4, 4\}\)	4	Cuadrados, 4 por vertice
\(\{6, 3\}\)	4	Hexagonos, 3 por vertice (panal de abejas)

Y cuando \((p-2)(q-2) > 4\)? El denominador se vuelve negativo, dando \(V, E, F\) negativos: no hay poliedro euclidiano. Pero estos simbolos si tienen significado en geometria hiperbolica, donde la curvatura negativa permite configuraciones imposibles en el espacio euclidiano. El simbolo \(\{7, 3\}\), por ejemplo, describe una teselacion del plano hiperbolico con heptagono regulares.

El Mapa Completo de \(\{p, q\}\)

Podemos visualizar todos los simbolos de Schlafli en una grilla donde \(p\) es la fila y \(q\) la columna. Cada celda tiene un valor de \((p-2)(q-2)\):

	\(q{=}3\)	\(q{=}4\)	\(q{=}5\)	\(q{=}6\)	\(q{=}7\)
\(p{=}3\)	1	2	3	4	5
\(p{=}4\)	2	4	6	8	10
\(p{=}5\)	3	6	9	12	15
\(p{=}6\)	4	8	12	16	20
\(p{=}7\)	5	10	15	20	25

Violeta: poliedros regulares (\(< 4\)). Cyan: teselaciones euclidianas (\(= 4\)). Gris: teselaciones hiperbolicas (\(> 4\)). La simetria de la grilla respecto a la diagonal (\(p \leftrightarrow q\)) refleja la dualidad: \(\{3,5\}\) y \(\{5,3\}\) son duales, como lo son \(\{3,6\}\) y \(\{6,3\}\).

Ejercicios

Usando las formulas \(E = 2pq/(2p+2q-pq)\), calcula \(V\), \(E\), \(F\) para el cubo \(\{4, 3\}\). Verifica que \(V - E + F = 2\).
Demuestra algebraicamente que si \(\{p, q\}\) existe (denominador \(> 0\)), entonces \(\{q, p\}\) tambien existe. (Pista: el denominador \(2p + 2q - pq\) es simetrico en \(p\) y \(q\).)
Un poliedro tiene caras cuadradas y triangulares, con 8 caras triangulares y 6 cuadradas. No es regular, pero la formula de Euler sigue valiendo. Calcula \(E\) y \(V\). (Pista: \(\sum p_i = 8 \times 3 + 6 \times 4 = 2E\).)
Que pasa con las formulas cuando \(p = 6, q = 3\)? Calcula el limite de \(V/F\) cuando \((p-2)(q-2) \to 4^-\) manteniendo \(q = 3\).
Para \(\{p, q\}\) regular, demuestra que \(F/V = p/q\). Interpreta geometricamente esta relacion para el par dual cubo-octaedro.

Leccion 10 — De {p, q} a V, E, F

De {p, q} a V, E, F