Exploración Visual Completa
Radios, volúmenes y dualidad: las métricas que conectan los cinco sólidos platónicos.
Referencia Rápida de PlatonicLab
Radio Circunscrito y Radio Inscrito
Cada sólido platónico de arista \(a\) admite una esfera circunscrita (radio \(R\), pasa por todos los vértices) y una esfera inscrita (radio \(r\), tangente a cada cara). Derivamos ambas para cada sólido.
Tetraedro (arista a)
La altura del tetraedro regular fue derivada en la Lección 2:
$$h = \frac{a\sqrt{6}}{3}$$
El centro de la esfera circunscrita (incentro = circuncentro en un sólido platónico) divide la altura en razón 3:1 desde la base. Es decir, el centro está a \(3h/4\) de la base y a \(h/4\) del vértice superior.
$$R = \frac{3h}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$$
El radio inscrito es la distancia del centro a cada cara, que es el cuarto restante de la altura:
$$r = \frac{h}{4} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$$
Cociente: \(R/r = 3\) — el mayor de todos los platónicos. El tetraedro es el más "puntiagudo".
Cubo (arista a)
El radio circunscrito es la semidiagonal espacial del cubo. La diagonal espacial mide \(a\sqrt{3}\), por lo que:
$$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$
El radio inscrito es la distancia del centro a cualquier cara, es decir, la mitad de la arista:
$$r = \frac{a}{2}$$
Cociente: \(R/r = \sqrt{3} \approx 1.732\)
Octaedro (arista a)
Colocamos el octaedro con vértices en \((\pm 1, 0, 0)\), \((0, \pm 1, 0)\), \((0, 0, \pm 1)\). En esta configuración la arista mide \(a = \sqrt{2}\), por lo que:
$$R = 1 = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$
Para el radio inscrito, calculamos la distancia del origen a una cara (por ejemplo, el triángulo con vértices \((1,0,0)\), \((0,1,0)\), \((0,0,1)\), cuyo plano es \(x+y+z=1\)):
$$r = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$$
Cociente: \(R/r = \sqrt{3} \approx 1.732\) — igual que el cubo. No es coincidencia: cubo y octaedro son duales.
Dodecaedro e Icosaedro (arista a)
Estos dos sólidos involucran la razón áurea \(\varphi = (1+\sqrt{5})/2\). Sus radios circunscritos son:
$$R_{\text{dodeca}} = \frac{a\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{4} = a \cdot \varphi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$R_{\text{icosa}} = \frac{a\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} = a \cdot \sin\!\left(\frac{2\pi}{5}\right)$$
Cociente: \(R/r \approx 1.258\) para ambos — son duales, como cubo y octaedro.
Observación clave: dualidad y R/r
Los pares duales {cubo, octaedro} y {dodecaedro, icosaedro} comparten el mismo cociente \(R/r\). El tetraedro, que es autodual, tiene un cociente único (\(R/r = 3\)). A menor \(R/r\), más "esférico" es el sólido.
Volúmenes (arista a)
| Sólido | Volumen | Valor (a=1) |
|---|---|---|
| Tetraedro | \(\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\) | 0.1178 |
| Cubo | \(a^3\) | 1.0000 |
| Octaedro | \(\frac{a^3\sqrt{2}}{3}\) | 0.4714 |
| Dodecaedro | \(\frac{a^3(15+7\sqrt{5})}{4}\) | 7.6631 |
| Icosaedro | \(\frac{5a^3(3+\sqrt{5})}{12}\) | 2.1817 |
Nota: el dodecaedro tiene el mayor volumen por arista. El tetraedro es el más compacto.
Propiedades Geométricas
| Sólido | Radio R | Radio r | Ángulo Diedro |
|---|---|---|---|
| Tetraedro | \(\frac{a\sqrt{6}}{4}\) | \(\frac{a\sqrt{6}}{12}\) | \(70.5^\circ\) |
| Cubo | \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{a}{2}\) | \(90^\circ\) |
| Octaedro | \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{a\sqrt{6}}{6}\) | \(109.5^\circ\) |
| Dodecaedro | \(\frac{a\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{4}\) | \(\frac{a\sqrt{250+110\sqrt{5}}}{20}\) | \(116.6^\circ\) |
| Icosaedro | \(\frac{a\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\) | \(\frac{a\varphi^2}{2\sqrt{3}}\) | \(138.2^\circ\) |
Ejercicios
- Deriva \(R\) para el tetraedro. (Pista: el centro divide la altura en razón 3:1.)
- Verifica que \(R/r = 3\) para el tetraedro y \(R/r = \sqrt{3}\) para el cubo.
- Explica geométricamente por qué los duales tienen el mismo cociente \(R/r\).
- Ordena los 5 sólidos por volumen (con \(a=1\)). ¿Cuál maximiza \(V/A\) (volumen/área superficial)?
- Usando PlatonicLab, activa esferas circunscrita e inscrita simultáneamente para el tetraedro y el icosaedro. ¿Cuál se ve más "esférico"?
LAB: Laboratorio Completo
Arrastra para rotar. Activa las esferas para comparar R y r entre sólidos. Los duales comparten el mismo cociente R/r.