Péndulo Simple

El oscilador más antiguo de la física — y el que más miente

Un peso colgando de una cuerda. Parece trivial. Galileo lo observó en la catedral de Pisa en 1583 y descubrió algo sorprendente: el período no depende de la masa ni (casi) del ángulo. Esa "casi" esconde una no-linealidad que tardó siglos en resolverse completamente.

La Ecuación de Movimiento

Aplicar la Segunda Ley de Newton a la dirección tangencial de la trayectoria circular da:

θ̈ + (g/l)·sin(θ) = 0
Ecuación no lineal del péndulo simple. θ es el ángulo, l la longitud, g la gravedad.

El término sin(θ) es lo que hace la ecuación no lineal. No tiene solución analítica exacta en el caso general. Para ángulos pequeños (θ < 15°), se puede usar la aproximación sin(θ) ≈ θ, que convierte la ecuación en un oscilador armónico simple con solución exacta:

θ̈ + (g/l)·θ = 0
Aproximación lineal (ángulos pequeños)
T ≈ 2π√(l/g)
Período (válido para θ₀ < 15°)

El Método Numérico — RK4

Para resolver la ecuación no lineal, la simulación usa Runge-Kutta de orden 4, uno de los integradores numéricos más precisos para ecuaciones diferenciales ordinarias. En lugar de dar un salto grande con la derivada actual (Euler), RK4 evalúa cuatro pendientes dentro de cada paso de tiempo y las combina:

k₁ = f(tₙ, yₙ)
k₂ = f(tₙ + h/2, yₙ + h·k₁/2)
k₃ = f(tₙ + h/2, yₙ + h·k₂/2)
k₄ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₃)
yₙ₊₁ = yₙ + h(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)/6
El error de RK4 decrece con h⁵ por paso — extremadamente preciso.

La energía total del sistema se conserva con RK4, a diferencia del método de Euler (primer orden) que tiende a acumular error y hace que el péndulo "gane" energía artificialmente.

No-Linealidad: El Período Depende del Ángulo

La afirmación de Galileo — que el período es independiente del ángulo — es solo una aproximación. La fórmula exacta del período involucra una integral elíptica:

T = 4√(l/g) · K(sin(θ₀/2))
K es la integral elíptica completa de primera especie. Para θ₀ = 90°, T es ~18% mayor que la aproximación.
Observa esto en la simulación: Lanza el péndulo con θ₀ = 10° y anota el período. Luego hazlo con θ₀ = 80°. El período será notablemente mayor. El oscilador armónico simple es isocronal (período constante); el péndulo real, no.

Energía: la Conversión Perpetua

Sin amortiguamiento, la energía total del péndulo se conserva. Oscila continuamente entre energía cinética (máxima en el punto inferior) y energía potencial (máxima en los extremos):

Energía Cinética

T = ½ml²θ̇²
Máxima cuando θ = 0 (punto más bajo). La velocidad angular θ̇ es máxima ahí.

Energía Potencial

V = mgl(1 - cos θ)
Máxima en los extremos cuando θ = θ₀. El péndulo está momentáneamente quieto.

Energía Total

E = T + V = mgl(1 - cos θ₀)
Constante sin amortiguamiento. La simulación lo verifica en tiempo real.

Controles de la Simulación

Longitud (0.5 – 4 m)

Afecta directamente el período: T ∝ √l. Doblar la longitud multiplica el período por √2 ≈ 1.41.

Ángulo inicial (–90° a 90°)

Controla la amplitud. Para ángulos grandes, el período se alarga y la no-linealidad es visible.

Gravedad (1 – 20 m/s²)

T ∝ 1/√g. En la Luna (1.62 m/s²) el péndulo oscila 2.5× más lento que en la Tierra.

Amortiguamiento

Modela la fricción del aire: θ̈ + b·θ̇ + (g/l)sin(θ) = 0. La energía decrece exponencialmente.

El metrónomo (botón de audio) emite un clic en cada cruce por la posición central — el momento de máxima velocidad. Útil para escuchar directamente el período y comparar dos configuraciones.

Experimento Guiado

¿Cuándo deja de ser válida la aproximación de ángulo pequeño?

  1. Configura l = 2 m, g = 9.8 m/s², sin amortiguamiento.
  2. Lanza con θ₀ = 10°. Anota el período mostrado en pantalla.
  3. Calcula el período teórico: T = 2π√(2/9.8) ≈ 2.84 s. ¿Coincide?
  4. Ahora sube el ángulo a 45°. ¿El período cambia? ¿Cuánto?
  5. Súbelo a 85°. El período debería ser ~20% mayor que el teórico lineal.
  6. Activa el metrónomo en ambos casos y escucha la diferencia de tempo.

Gravedad en otros planetas

  1. Fija l = 1 m, θ₀ = 30°.
  2. Con g = 9.8 m/s² (Tierra): T ≈ 2.01 s.
  3. Baja g a 1.62 m/s² (Luna): T debería ser ≈ 4.94 s. ¿Se cumple la relación T ∝ 1/√g?
  4. Sube g a 24.8 m/s² (Júpiter): T ≈ 1.26 s. El péndulo oscila casi 4× más rápido que en la Luna.

Limitaciones del Modelo

Conexiones Interdisciplinarias

〰️ Oscilador Forzado
Resonancia cuando ω = ω₀ ⚖️ Péndulos Desacoplados
Polirritmos y diferencia de fase ∂ Mecánica Lagrangiana
El péndulo como caso de estudio 🎵 Metrónomo Péndulo
Sonificación del movimiento

Para Explorar Más