Órbitas de Kepler

Las tres leyes que describe el movimiento de todos los planetas

Johannes Kepler publicó sus tres leyes entre 1609 y 1619, destilándolas de los datos observacionales de Tycho Brahe. Newton demostró en 1687 que todas ellas se derivan de la gravitación universal. Esta simulación permite explorar cada ley interactivamente, con control fino sobre la elipse orbital.

Las Tres Leyes

I

Órbitas elípticas

Cada planeta describe una elipse con el Sol en uno de sus focos. La elipse queda definida por su semieje mayor a y su excentricidad e. El Sol no está en el centro geométrico sino en un foco.

r = a(1−e²)/(1+e·cosθ)
II

Ley de las áreas

El segmento planeta-Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto implica que el planeta se mueve más rápido cerca del Sol (perihelio) y más lento lejos (afelio). Es consecuencia de la conservación del momento angular.

dA/dt = L/2m
III

Ley de los períodos

El cuadrado del período orbital es proporcional al cubo del semieje mayor. Válida para todos los planetas del mismo sistema estelar, con la misma constante de proporcionalidad.

T² ∝ a³

La Geometría de la Elipse

r_perihelio = a(1 − e)    r_afelio = a(1 + e)
Distancias mínima y máxima al Sol. Con e = 0: r = a (círculo). Con e → 1: órbita casi parabólica.

La excentricidad e mide cuánto se desvía la elipse de un círculo:

La Segunda Ley y la Velocidad Orbital

Como el momento angular L = m·r·v_⊥ se conserva (sin torques), cuando r es pequeño v debe ser grande. En el perihelio:

v_perihelio / v_afelio = r_afelio / r_perihelio = (1+e)/(1−e)
Con e = 0.9: la velocidad en el perihelio es 19× la del afelio.
La segunda ley es la conservación del momento angular. No es casualidad que la misma ley que describe las órbitas planetarias explique por qué un patinador artístico gira más rápido al recoger los brazos. En ambos casos, L = mr²ω = cte. Al reducir r, ω debe aumentar.

Controles de la Simulación

El panel muestra en tiempo real: velocidad orbital (km/s), distancia al Sol (UA) y anomalía verdadera θ (el ángulo desde el perihelio).

Experimentos Guiados

Experimento 1 — Ver la segunda ley en acción

  1. Ajusta e = 0.7, a = 1 UA. Activa 4 divisiones.
  2. Los 4 sectores tienen áreas iguales, pero anchos muy distintos: los del perihelio son estrechos (planeta rápido), los del afelio son anchos (planeta lento).
  3. Observa la velocidad en tiempo real: cerca del perihelio puede ser 3–5× mayor que en el afelio.
  4. Aumenta las divisiones a 12: el contraste entre sectores cerca/lejos del Sol es aún más evidente.

Experimento 2 — Verificar la tercera ley

  1. Con e = 0 (circular) ajusta a = 1 UA. El período debe ser exactamente 1 año. Cronométralo.
  2. Cambia a a = 4 UA. Por T² = a³: T = 4^(3/2) = 8 años.
  3. Cambia a a = 9 UA: T = 9^(3/2) = 27 años.
  4. Verifica que la velocidad de la órbita a = 9 UA es exactamente 1/3 de la de a = 1 UA (v ∝ 1/√a).

Experimento 3 — Órbita casi parabólica (cometa)

  1. Ajusta e = 0.95. Esta es una órbita similar a la de los cometas de largo período como el Halley (e = 0.967).
  2. Observa que el planeta pasa rápidísimo por el perihelio y luego se pierde muy lejos.
  3. Con a = 1 UA y e = 0.95: r_perihelio = 0.05 UA (mucho más cerca del Sol que Mercurio), r_afelio = 1.95 UA.
  4. La velocidad en el perihelio es (1+0.95)/(1−0.95) = 39× la del afelio. Espectacular.

Conexiones

☀️
Sistema Solar
8 planetas con datos reales
 📐
Mecánica Lagrangiana
Derivación de las leyes de Kepler
 🕰
Péndulo Simple
Conservación de energía análoga
 ⚡
Relatividad Especial
Precesión de Mercurio: más allá de Kepler