Leccion 27 · Caos discreto: mapa logistico

Caos sin ecuaciones diferenciales

En la leccion anterior aprendimos como Poincare transformo flujos continuos en mapas discretos. Pero existe una clase de sistemas que son discretos desde el principio: sistemas donde el estado se actualiza en pasos, no de forma continua. Estos sistemas se describen con ecuaciones en diferencias, no ecuaciones diferenciales.

El ejemplo mas celebre es el mapa logistico, una ecuacion de apariencia tan simple que parece imposible que contenga caos. Y sin embargo, contiene toda la riqueza de la teoria del caos: bifurcaciones, periodos, universalidad de Feigenbaum, sensibilidad a condiciones iniciales y atractores extranos. Es el microscopio perfecto para estudiar el caos, porque elimina toda complejidad accesoria y deja solo la esencia.

Los mapas discretos aparecen naturalmente en biologia (poblaciones con generaciones discretas), economia (ciclos anuales), ecologia y, como vimos, como secciones de Poincare de flujos continuos. Estudiarlos no es un desvio: es ir al corazon del caos.

El mapa logistico

En 1976, el biologo matematico Robert May publico un articulo seminal en Nature titulado "Simple mathematical models with very complicated dynamics". En el, mostraba que una ecuacion increiblemente simple puede generar comportamiento de complejidad arbitraria:

$$x_{n+1} = rx_n(1-x_n)$$

donde $x_n \in [0,1]$ representa la fraccion de la capacidad de carga de una poblacion en la generacion $n$, y $r \in [0,4]$ es la tasa de crecimiento. La funcion $f(x) = rx(1-x)$ es una parabola que mapea el intervalo $[0,1]$ en si mismo (para $r \leq 4$).

El termino $rx$ representa el crecimiento proporcional a la poblacion actual. El termino $(1-x)$ representa la competencia por recursos limitados: cuanto mayor es la poblacion, menor es el factor de crecimiento. Es el modelo mas simple posible de crecimiento con retroalimentacion negativa.

Lo asombroso es que este modelo, a pesar de su simplicidad, genera toda la gama de comportamientos dinamicos: puntos fijos estables, ciclos periodicos de todo periodo, cascadas de duplicacion de periodo, ventanas de periodicidad dentro del caos, y caos completamente desarrollado. May mostro que la complejidad no requiere complicacion.

Iteracion

El proceso de iteracion es mecanicamente trivial: elegimos un valor inicial $x_0$, aplicamos la funcion $f(x) = rx(1-x)$ para obtener $x_1 = f(x_0)$, luego $x_2 = f(x_1)$, y asi sucesivamente. La secuencia $\{x_0, x_1, x_2, \ldots\}$ se llama la orbita de $x_0$.

Para $r < 1$, toda orbita converge a 0: la poblacion se extingue. Para $1 < r < 3$, toda orbita converge a un punto fijo positivo $x^* = 1 - 1/r$: la poblacion se estabiliza. En $r = 3$, este punto fijo pierde estabilidad y nace un ciclo de periodo 2: la poblacion oscila entre dos valores de generacion en generacion.

A medida que $r$ crece, el ciclo de periodo 2 se bifurca en un ciclo de periodo 4, luego 8, 16, 32... Las bifurcaciones se aceleran, ocurriendo a intervalos cada vez menores de $r$, hasta que en $r_\infty \approx 3.5699$ llegamos al borde del caos. Mas alla de este punto, el sistema es caotico para la mayoria de valores de $r$, con ventanas de periodicidad intercaladas.

Diagrama de telarana

El diagrama de telarana (cobweb diagram) es una tecnica grafica elegante para visualizar la iteracion de un mapa unidimensional. Se dibujan dos curvas: la parabola $y = rx(1-x)$ y la recta identidad $y = x$. Los puntos fijos del mapa estan en las intersecciones de ambas curvas.

Para iterar graficamente, partimos de $x_0$ en el eje horizontal, subimos verticalmente hasta la parabola (obteniendo $x_1 = f(x_0)$), luego nos movemos horizontalmente hasta la recta $y = x$ (transfiriendo $x_1$ al eje horizontal), subimos otra vez hasta la parabola (obteniendo $x_2$), y repetimos. El patrón de lineas verticales y horizontales que resulta tiene forma de telarana.

Cuando el sistema converge a un punto fijo, la telarana se enrolla en espiral hacia la interseccion. Cuando hay un ciclo de periodo 2, la telarana forma un rectangulo. Y cuando hay caos, la telarana salta erraticamente por toda la parabola, nunca repitiendose exactamente. El diagrama de telarana convierte la dinamica abstracta en geometria visible.

Periodo 3 implica caos

En 1975, Tien-Yien Li y James Yorke publicaron un articulo con uno de los titulos mas memorables de la historia de las matematicas: "Period Three Implies Chaos". Su teorema establece un resultado sorprendente:

Teorema de Li-Yorke (1975)

Si un mapa continuo del intervalo en si mismo tiene una orbita periodica de periodo 3, entonces tiene orbitas periodicas de todo periodo. Ademas, existe un conjunto no numerable de condiciones iniciales cuyas orbitas son aperiodicas (caoticas).

Este fue el articulo que introdujo la palabra "caos" en matematicas. La implicacion es profunda: la mera existencia de un ciclo de periodo 3 garantiza una complejidad dinamica infinita. Para el mapa logistico, el periodo 3 aparece en $r = 1 + \sqrt{8} \approx 3.8284$, confirmando que el caos no es un fenomeno marginal sino una consecuencia inevitable de la no linealidad.

El resultado de Li-Yorke fue luego refinado por el teorema de Sarkovskii (1964, redescubierto en Occidente despues de Li-Yorke), que establece un orden total de los periodos: si un mapa tiene una orbita de periodo $n$, entonces tiene orbitas de todos los periodos que siguen a $n$ en el ordenamiento de Sarkovskii. El periodo 3 es el ultimo en este orden, por lo que implica todos los demas.

Conexion con Lorenz

Ahora podemos cerrar el circulo con la leccion anterior. El atractor de Lorenz es un flujo continuo en tres dimensiones. Su seccion de Poincare produce un mapa bidimensional. Y si proyectamos ese mapa sobre una variable (por ejemplo, el maximo de $z$ en cada vuelta), obtenemos un mapa unidimensional que se parece notablemente al mapa logistico.

Esta no es una coincidencia. Los mecanismos que generan caos — el estiramiento y plegamiento del espacio de fases — son universales. Un mapa logistico estira el intervalo (la parabola tiene pendiente mayor que 1 en partes) y lo pliega (la parabola tiene un maximo). El atractor de Lorenz hace lo mismo en tres dimensiones. La esencia del caos es la misma en ambos casos.

La universalidad de Feigenbaum lo confirma: la razon entre intervalos sucesivos de bifurcacion converge al mismo numero $\delta = 4.6692\ldots$ para todos los mapas unimodales con un unico maximo cuadratico. Esta constante es tan universal como $\pi$ o $e$: no depende de los detalles del sistema, solo de su estructura topologica.

Idea clave

El mapa logistico es el microscopio perfecto: toda la teoria del caos en una sola formula. Bifurcaciones, universalidad, sensibilidad a condiciones iniciales, atractores extranos, el teorema de Li-Yorke — todo esta contenido en $x_{n+1} = rx_n(1-x_n)$.

Comportamiento segun r

Valor de r	Puntos fijos	Estabilidad	Comportamiento
0 < r < 1	x* = 0	Estable	Extincion
1 < r < 3	x* = 1 - 1/r	Estable	Convergencia a punto fijo
3.0 < r < 3.449	Ciclo periodo 2	Estable	Oscilacion entre 2 valores
3.449 < r < 3.544	Ciclo periodo 4	Estable	Duplicacion de periodo
3.570 < r < 4	Infinitos	Inestables (mayoria)	Caos con ventanas periodicas
r = 4	Densos en [0,1]	Todos inestables	Caos completo

Ejercicios

01.

Encuentra algebraicamente los puntos fijos del mapa logistico resolviendo $x = rx(1-x)$. ¿Cuantos hay? ¿Para que valores de $r$ son estables? Pista: analiza la derivada $f'(x^*)$.
02.

Usa el LAB de abajo para dibujar el diagrama de telarana con $r = 3.2$. Describe la orbita. ¿A que converge? ¿Cuantas iteraciones necesitas para que la telarana se estabilice visualmente?
03.

Encuentra numericamente (usando el slider del LAB) el valor de $r$ donde aparece el primer ciclo de periodo 3. Verifica que para ese $r$, la orbita de la telarana visita exactamente 3 puntos antes de repetirse.

LAB: Mapa logistico interactivo

Izquierda: diagrama de telarana mostrando la iteracion grafica. Derecha: diagrama de bifurcacion. Usa el slider para explorar como cambia la dinamica con r.

chaos-lab::logistic-map

r = 3.50