Thomas y Halvorsen

Simetria Z₃ (ciclica)

Hasta ahora hemos estudiado atractores con distintos tipos de simetria. El atractor de Lorenz posee simetria \(Z_2\): es invariante bajo la transformacion \((x,y,z) \to (-x,-y,z)\), lo que explica su iconica forma de mariposa con dos lobulos simetricos. El atractor de Rossler, en cambio, no tiene ninguna simetria discreta evidente, lo que produce su geometria de ala unica. ¿Que ocurre cuando elevamos el grado de simetria?

En esta leccion exploraremos dos atractores que comparten un tipo de simetria mas rico: la simetria ciclica \(Z_3\). Un sistema tiene simetria \(Z_3\) cuando la permutacion ciclica de las variables deja las ecuaciones invariantes. Formalmente, si aplicamos la sustitucion:

y las ecuaciones resultantes son identicas a las originales (con las variables renombradas), decimos que el sistema tiene simetria ciclica de orden tres. Geometricamente, esto significa que el atractor se ve "igual" desde los tres ejes coordenados. Las tres direcciones del espacio juegan roles completamente intercambiables, lo que produce formas tridimensionales de una elegancia notable, similares a nudos o trenzas que flotan sin privilegiar ninguna direccion.

La simetria \(Z_3\) es mas restrictiva que la \(Z_2\): impone que la primera ecuacion determine completamente la segunda y la tercera por permutacion ciclica. Esto reduce drasticamente la libertad de diseno del sistema, pero a cambio garantiza una estructura geometrica extraordinariamente equilibrada. Los dos atractores que estudiaremos —Thomas y Halvorsen— explotan esta simetria de maneras muy diferentes.

El atractor de Thomas (1999)

Rene Thomas fue un biologo teorico belga, pionero en el estudio de redes regulatorias geneticas. Su interes no era el caos per se, sino comprender que estructuras de retroalimentacion minimas pueden generar comportamiento complejo en sistemas biologicos. En 1999 propuso un sistema caotico que refleja esta filosofia reduccionista: usa la funcion seno como unica no linealidad, lo que produce un sistema conceptualmente transparente.

La estructura es elegante y transparente. Cada variable recibe un impulso del seno de la variable siguiente (en orden ciclico \(x \to y \to z \to x\)) y es frenada por un termino de disipacion lineal proporcional a \(b\). La simetria ciclica es inmediata: si sustituimos \((x,y,z) \to (y,z,x)\), la primera ecuacion se convierte en la segunda, la segunda en la tercera, y la tercera en la primera.

El unico parametro libre es \(b\), que controla la disipacion. Para valores grandes de \(b\) la friccion domina y el sistema converge a un punto fijo. A medida que \(b\) disminuye, la inyeccion de energia sinusoidal compite con la disipacion. En un valor critico emerge una orbita periodica; al seguir reduciendo \(b\), esta orbita se complica hasta convertirse en un atractor extrano. El valor clasico para caos es \(b = 0.208186\).

Una virtud fundamental de las funciones seno es que actuan como confinamiento natural. Dado que \(|\sin(\theta)| \leq 1\) para todo \(\theta\), las fuerzas impulsoras estan siempre acotadas. El atractor permanece en una region finita del espacio sin necesidad de mecanismos adicionales de reinjeccion. Esto contrasta con sistemas como Lorenz o Chen, donde los terminos cuadraticos pueden crecer sin limite y la acotacion del atractor requiere demostraciones no triviales. Para la simulacion numerica, la consecuencia practica es que el sistema de Thomas jamas diverge: no hay riesgo de desbordamiento ni de inestabilidad numerica.

El atractor de Halvorsen

El atractor de Halvorsen comparte la simetria ciclica \(Z_3\) con Thomas, pero reemplaza la no linealidad suave del seno por terminos cuadraticos. El resultado es un sistema con una dinamica mucho mas agresiva y una geometria angular que recuerda a las aspas de una helice o a un triskelion tridimensional:

Con el parametro clasico \(a = 1.89\), el sistema genera un atractor con una estructura tridimensional en forma de cruz o estrella de tres puntas. La verificacion de la simetria \(Z_3\) es directa: si sustituimos \((x,y,z) \to (y,z,x)\), la primera ecuacion se transforma en \(\dot{y} = -ay - 4z - 4x - z^2\), que es exactamente la segunda ecuacion original. Analogamente para las demas.

La diferencia estetica respecto a Thomas es marcada. Donde Thomas produce trayectorias suaves y ondulantes, como cintas flotando en el espacio, Halvorsen genera curvas mas angulosas con cambios de direccion bruscos. Esto refleja la naturaleza de sus respectivas no linealidades: el seno es una funcion suave y acotada, mientras que los terminos cuadraticos crecen sin limite y producen aceleraciones mas violentas.

Comparacion: mecanismos y geometria

Ambos sistemas comparten la simetria \(Z_3\), pero sus mecanismos de generacion de caos son fundamentalmente diferentes. En Thomas, el caos surge de la competencia entre la inyeccion periodica del seno y la disipacion lineal. En Halvorsen, los terminos cuadraticos proporcionan una retroalimentacion mas intensa que amplifica pequenas diferencias de manera mas agresiva.

Podemos calcular la divergencia de cada campo vectorial para cuantificar la tasa de contraccion del volumen en el espacio de fases. Para Thomas:

La divergencia es constante e igual a \(-3b\). Esto indica una contraccion uniforme del volumen a una tasa que depende unicamente del parametro de disipacion. Para \(b = 0.208\), la divergencia vale \(-0.624\). Para Halvorsen:

Tambien constante, con valor \(-3a = -5.67\) para \(a = 1.89\). Halvorsen disipa volumen casi diez veces mas rapido que Thomas, lo que explica que sus trayectorias se compriman mas fuertemente hacia el atractor y que la estructura final sea mas compacta y definida.