Dos péndulos que oscilan independientemente nunca se influyen mutuamente, pero sus períodos guardan entre sí
una relación precisa que depende solo de sus longitudes. Cuando esa relación es racional, emerge un patrón
rítmico que se repite con exactitud; cuando es irracional, la danza nunca se repite.
La Ecuación
Cada péndulo obedece la misma ecuación no lineal de forma independiente:
θ̈ + (g/L) sin(θ) = 0
Ecuación de movimiento de cada péndulo (no lineal)
El período de oscilación —para ángulos pequeños— es:
T = 2π √(L/g)
Período (aproximación lineal, válida para θ < 15°)
La clave está en la razón de períodos entre los dos péndulos:
T₁/T₂ = √(L₁/L₂)
La razón de períodos depende solo de las longitudes
Variables del Sistema
Péndulo 1 (amarillo)
L₁ — longitud (0.5–4 m)
θ₁ — ángulo inicial (−90° a 90°)
v₁ — velocidad angular inicial (rad/s)
Período T₁ = 2π√(L₁/g)
Péndulo 2 (azul)
L₂ — longitud (0.5–4 m)
θ₂ — ángulo inicial (−90° a 90°)
v₂ — velocidad angular inicial (rad/s)
Período T₂ = 2π√(L₂/g)
Hay además un control de gravedad global (1–20 m/s²) que escala ambos períodos simultáneamente sin alterar su razón. Esto modela gravedad en otros planetas o en vacío parcial.
Polirritmos: cuando la música y la física se encuentran
Si la razón T₁/T₂ es un número racional p/q, ambos péndulos vuelven exactamente a su estado inicial después de p ciclos del primero (= q ciclos del segundo). Esto es precisamente un polirritmo musical.
Condicion de polirritmo: Para obtener la razon T₁/T₂ = p/q, debes ajustar las longitudes a L₁/L₂ = (p/q)². La razón de longitudes es el cuadrado de la razón de períodos, porque T ∝ √L.
Algunas combinaciones útiles:
| Polirritmo |
L₁/L₂ necesario |
Ejemplo concreto |
Percepción |
| 1:1 (unísono) | 1.00 | L₁ = L₂ = 2.0 m | oscilan juntos |
| 1:2 | 0.25 | L₁ = 1.0, L₂ = 4.0 m | uno da 2 ciclos por cada 1 del otro |
| 2:3 | 0.44 | L₁ ≈ 0.89, L₂ = 2.0 m | hemiola musical |
| 3:4 | 0.56 | L₁ ≈ 1.69, L₂ = 3.0 m | ritmo complejo clásico |
| √2 : 1 | 2.00 | L₁ = 2.0, L₂ = 1.0 m | irracional: nunca se repite |
El Indicador de Fase
La simulación muestra en tiempo real el desfase entre ambos péndulos. Cuando el ángulo entre las velocidades angulares normalizadas se aproxima a cero, ambos están en fase (el indicador se vuelve verde). Cuando es π, están en antifase (rojo).
En fase (verde)
Los dos péndulos oscilan al unísono: salieron al mismo tiempo y en la misma dirección. Ocurre si L₁ = L₂ y θ₁ = θ₂.
Antifase (rojo)
Uno va hacia la derecha cuando el otro va hacia la izquierda. Se obtiene con L₁ = L₂ y θ₁ = −θ₂.
Desfase parcial (amarillo)
La fase relativa cambia continuamente. Ocurre cuando los períodos son diferentes. La fase "deriva" de forma predecible.
Las Barras de Energía
Cada péndulo conserva su energía mecánica total de forma independiente (no hay acoplamiento). Las barras muestran la distribución:
- Segmento brillante — energía cinética: K = ½mL²θ̇²
- Segmento tenue — energía potencial: U = mgL(1 − cos θ)
La suma de ambos segmentos es constante para cada péndulo. Cuando el péndulo pasa por el equilibrio (θ = 0), toda la energía es cinética. En los extremos (θ = θ_max), toda es potencial.
Experimentos Guiados
Experimento 1 — El polirritmo 1:2
- Ajusta L₁ = 1.0 m, L₂ = 4.0 m. Ambos ángulos a 45°, velocidades a 0.
- Presiona Play. Observa que el péndulo amarillo oscila el doble de rápido que el azul.
- Cuando el amarillo completa 2 ciclos completos, el azul completa exactamente 1. Compruébalo contando.
- El patrón se repite indefinidamente con precisión perfecta: esto es un polirritmo 2:1 (o 1:2 según perspectiva).
- Ahora activa las trayectorias y observa el patrón de Lissajous que dibujan juntos.
Experimento 2 — La hemiola (2:3)
- Ajusta L₁ ≈ 0.9 m, L₂ = 2.0 m (la razón de longitudes debe ser ≈ 4/9 para T₁/T₂ = 2/3).
- La "hemiola" es uno de los ritmos más usados en música clásica (Bach, Beethoven, brahms): 2 contra 3.
- Mientras el péndulo amarillo completa 3 ciclos, el azul completa 2. Cuenta los pasos por el equilibrio.
- El sistema es periódico: vuelve al estado inicial después de un compás de 6 tiempos (mínimo común múltiplo de 2 y 3).
Experimento 3 — El caos aparente (razón irracional)
- Ajusta L₁ = 1.0 m, L₂ = 1.4 m (razón ≈ 1/√2, número irracional).
- Observa las trayectorias durante un tiempo largo. Nunca se repiten exactamente.
- Esto no es caos real (el sistema es lineal y determinista), sino cuasiperiodicidad: el movimiento llena densamente un toro en el espacio de fases sin cerrar nunca la órbita.
- Aumenta la gravedad a 20 m/s² y observa cómo el patrón se vuelve más compacto pero mantiene su estructura.
Limitaciones del Modelo
Aproximación lineal: Las barras de energía y los períodos mostrados usan la fórmula T = 2π√(L/g), válida solo para ángulos pequeños (θ < 15° aproximadamente). Para ángulos grandes, el período real es mayor y la simulación usa RK4 para el movimiento, pero los valores de período en el panel pueden tener error.
Sin acoplamiento: En la realidad, dos péndulos que cuelgan del mismo soporte se acoplan a través de vibraciones mecánicas. Esta simulación los mantiene completamente independientes. Para ver acoplamiento, explora la simulación de Oscilaciones Acopladas.
Conexiones