Todo oscilador tiene una frecuencia natural: la velocidad a la que vibra libremente. Si una fuerza externa
le empuja a esa misma frecuencia, la energía se acumula sin freno y la amplitud crece sin control. Este
fenómeno —la resonancia— está detrás del colapso del puente Tacoma Narrows, de los cristales que explotan
con una nota precisa, y de la sintonización de una radio.
La Ecuación
mẍ + bẋ + kx = F₀ cos(ωt)
Oscilador armónico amortiguado forzado
Cada término tiene un significado físico preciso:
mẍ — inercia
Resistencia al cambio de velocidad. La masa m multiplica la aceleración. Un sistema más pesado reacciona más lentamente a la fuerza forzada.
bẋ — amortiguamiento
Fricción viscosa proporcional a la velocidad. Disipa energía y limita la amplitud de resonancia. Sin él (b = 0), la amplitud sería infinita.
kx — fuerza restauradora
El resorte empuja hacia el equilibrio con fuerza proporcional al desplazamiento. Define la frecuencia natural ω₀ = √(k/m).
F₀ cos(ωt) — fuerza forzada
Perturbación externa periódica de amplitud F₀ y frecuencia ω. Es la "mano invisible" que empuja el sistema rítmicamente.
La Solución en Estado Estacionario
Después de un transitorio inicial, el sistema oscila a la frecuencia de la fuerza forzada (no a su frecuencia natural). La amplitud y la fase dependen de qué tan cerca estés de la resonancia:
A = F₀ / √[(k − mω²)² + (bω)²]
Amplitud en estado estacionario (la simulación la mide en tiempo real)
φ = arctan[bω / (k − mω²)]
Desfase entre la fuerza y el desplazamiento
La condición de resonancia
ω_res = ω₀ √(1 − 2ζ²) ≈ ω₀ (para ζ pequeño)
La resonancia ocurre cuando ω ≈ ω₀. Con amortiguamiento bajo, prácticamente en ω = ω₀.
La fase cambia de signo en la resonancia. Para ω < ω₀, el desplazamiento sigue a la fuerza (en fase, φ ≈ 0°). En resonancia exacta, el desfase es −90°: la velocidad está en fase con la fuerza, no el desplazamiento. Para ω > ω₀, el desplazamiento se opone a la fuerza (φ ≈ −180°). Este cambio de fase es tan diagnóstico de la resonancia como la amplitud máxima.
El Factor Q
El factor de calidad Q caracteriza cuán "aguda" es la resonancia:
Q = ω₀ m / b = ω₀ / Δω
Q es la razón entre la frecuencia central y el ancho de banda a media potencia
- Q alto (b bajo): resonancia muy aguda, la amplitud colapsa rápidamente fuera de ω₀. Un cristal de cuarzo tiene Q ≈ 10⁶.
- Q bajo (b alto): resonancia ancha y difusa. Un amortiguador automotriz tiene Q ≈ 0.5.
- Q = 0.5: amortiguamiento crítico, no hay oscilación. El sistema vuelve al equilibrio lo más rápido posible sin oscilar.
Los Cuatro Regímenes de Amortiguamiento
| Régimen |
Condición |
b en la sim. |
Comportamiento |
| Subamortiguado | b < 2√(km) | Bajo (0.2) | Oscila con amplitud decreciente; hay resonancia visible |
| Críticamente amortiguado | b = 2√(km) | Crítico (7) | Vuelve al equilibrio más rápido posible sin oscilar |
| Sobreaamortiguado | b > 2√(km) | Alto (3)+ | Vuelve al equilibrio lentamente, sin oscilar nunca |
| Sin amortiguamiento | b = 0 | — | Amplitud infinita en resonancia (modelo teórico) |
La Curva de Respuesta en Frecuencia
El canvas inferior muestra la amplitud estacionaria A(ω) para todos los valores posibles de ω, con una línea vertical que indica la frecuencia actual. Esta curva —la función de transferencia— tiene forma de campana centrada en ω₀, más estrecha con menor amortiguamiento.
Leer la curva: El pico de la curva indica dónde está la resonancia. El ancho a la mitad de la altura es Δω = b/m = ω₀/Q. Al mover el slider de ω, la línea vertical se desplaza y el oscilador en la parte superior muestra el comportamiento correspondiente.
Controles de la Simulación
- ω₀ (1–10 rad/s) — Frecuencia natural del sistema. Cambia k = mω₀² internamente.
- ω (0.5–15 rad/s) — Frecuencia de la fuerza externa. El punto clave es hacer ω → ω₀.
- Amortiguamiento — Botones preestablecidos (Bajo/Medio/Alto/Crítico) + slider fino del coeficiente b.
- F₀ (0.5–5) — Amplitud de la fuerza. Escala linealmente la amplitud de respuesta (A ∝ F₀).
Los indicadores muestran en tiempo real: amplitud medida, desfase, razón ω/ω₀, y factor Q.
Experimentos Guiados
Experimento 1 — Encontrar la resonancia
- Selecciona amortiguamiento Bajo (b = 0.2). Fija ω₀ = 5.0 rad/s.
- Inicia la simulación con ω = 3.0 (lejos de la resonancia). Observa la amplitud pequeña.
- Aumenta ω lentamente hacia 5.0. Observa cómo la amplitud crece y el indicador de resonancia cambia de gris a amarillo a rojo.
- Con ω = 5.0, la amplitud es máxima. Esto es resonancia.
- Continúa aumentando ω más allá de 5.0. La amplitud cae nuevamente.
- Observa el desfase: pasa de ~0° a −90° en la resonancia, y a −180° fuera de ella.
Experimento 2 — El papel del amortiguamiento
- Ajusta ω = ω₀ = 5.0 (en resonancia exacta).
- Cambia entre los cuatro regímenes de amortiguamiento y anota la amplitud máxima en cada caso.
- Verifica que con amortiguamiento Bajo, la amplitud es mucho mayor que con Alto.
- Con Crítico, la curva de respuesta ya no tiene pico definido: Q < 1.
- Observa también cómo el ancho de la campana en la curva inferior cambia con b.
Experimento 3 — El transitorio inicial
- Fija ω = ω₀ = 5.0, amortiguamiento Bajo.
- Reinicia la simulación. Durante los primeros segundos, la amplitud oscila antes de estabilizarse.
- Este es el transitorio: el sistema parte desde cero y la solución general es la superposición de la respuesta forzada y la respuesta libre amortiguada.
- Después de unos ciclos, la respuesta libre decae y solo queda la respuesta estacionaria.
- Compara este tiempo de estabilización entre amortiguamiento Bajo y Alto: más amortiguamiento → transitorio más corto.
Ejemplos Reales
Puente Tacoma Narrows (1940)
El viento creó vórtices alternados a una frecuencia cercana a la resonancia torsional del puente. Aunque el mecanismo no es amortiguamiento viscoso simple, la resonancia fue la causa del colapso catastrófico.
MRI (imagen por resonancia magnética)
Los protones de hidrógeno tienen una frecuencia de precesión (Larmor) en un campo magnético. Un pulso de radio a exactamente esa frecuencia los excita. La resonancia es el principio físico central del diagnóstico médico por imagen.
Absorción de microondas
Las moléculas de agua tienen frecuencias de rotación en el rango de microondas (~2.45 GHz). Un horno microondas opera a esa frecuencia, transfiriendo energía por resonancia rotacional a las moléculas de agua.
Oscilador de cuarzo
Los relojes de cuarzo usan la resonancia piezoeléctrica de un cristal cortado con precisión (32,768 Hz). El Q altísimo (~10⁶) garantiza que la frecuencia se mantenga estable durante años.
Limitaciones del Modelo
Linealidad: El modelo asume que la fuerza restauradora es perfectamente proporcional al desplazamiento (k·x). Para oscilaciones grandes, los resortes reales se vuelven no lineales y la resonancia se desplaza con la amplitud (resonancia de Duffing). En la simulación, la amplitud puede crecer indefinidamente, lo que no ocurriría en un sistema real con no-linealidades.
Modelo de masa-resorte: La simulación muestra un oscilador de un grado de libertad. Los sistemas reales (puentes, aviones, edificios) tienen muchos modos de vibración simultáneos, cada uno con su propio ω₀ y Q. La resonancia en un modo no afecta los demás.
Conexiones