El teorema de Fourier afirma que cualquier función periódica, por compleja que sea, puede
escribirse como una suma (posiblemente infinita) de senos y cosenos. Esto no es solo una
curiosidad matemática: es la base del procesado de señal, la síntesis de sonido, la compresión
de imágenes (JPEG), el análisis de sismogramas y la mecánica cuántica.
La Serie de Fourier
f(t) = a₀/2 + Σ [aₙcos(nωt) + bₙsin(nωt)]
Serie de Fourier general. ω = 2πf₀ es la frecuencia angular fundamental.
Los coeficientes aₙ y bₙ se calculan por integración:
aₙ = (2/T) ∫ f(t)·cos(nωt) dt bₙ = (2/T) ∫ f(t)·sin(nωt) dt
Los coeficientes miden "cuánto" de cada armónico hay en la señal original
La transformada de Fourier es una proyección. Igual que un vector puede proyectarse sobre ejes ortogonales, una función puede proyectarse sobre las funciones base {sin(nωt), cos(nωt)}, que son ortogonales entre sí. Los coeficientes son las "coordenadas" de la función en el espacio de frecuencias.
Las Cuatro Ondas Predefinidas
Senoidal
f(t) = sin(ωt)
Un solo armónico. El espectro tiene exactamente una barra. Es la onda "pura".
Cuadrada
4/π · Σ sin((2n-1)ωt)/(2n-1)
Solo armónicos impares (1, 3, 5, …) con amplitudes 1, 1/3, 1/5, … Los bordes nítidos requieren infinitos armónicos.
Diente de sierra
2/π · Σ (-1)ⁿ⁺¹ sin(nωt)/n
Todos los armónicos (pares e impares) con amplitudes 1, 1/2, 1/3, 1/4, … Descenso lento.
Triangular
8/π² · Σ (-1)ⁿ sin((2n-1)ωt)/(2n-1)²
Solo armónicos impares, pero con amplitudes 1, 1/9, 1/25, … (caída ∝ 1/n²). Más suave que la cuadrada.
El Fenómeno de Gibbs
Al aproximar una onda cuadrada con un número finito de armónicos, aparece un sobrepico (~9% de la altura) justo en las discontinuidades, que no desaparece al añadir más armónicos: simplemente se hace más estrecho pero igual de alto. Esto es el fenómeno de Gibbs.
Observa el fenómeno de Gibbs en la simulación: selecciona onda Cuadrada con 1 armónico. La onda es una senoidal suave. Con 4, ya se parece a una cuadrada. Con 16, la forma es casi perfecta pero aparecen pequeñas oscilaciones en las esquinas. Ese ~9% extra nunca desaparece completamente.
Timbre Musical y Armónicos
La razón por la que un violín y una flauta suenan diferentes aunque toquen la misma nota (misma f₀) es que tienen diferentes espectros de armónicos. El timbre de un instrumento es su "huella digital" en el espacio de frecuencias:
Flauta
Espectro dominado por el fundamental. Pocos armónicos de alta frecuencia. Sonido "limpio" y suave.
Violín
Espectro rico en armónicos impares y pares hasta orden 8-10. El arco excita la cuerda de forma similar a una cuadrada.
Clarinete
Al ser tubo cerrado en un extremo, solo tiene armónicos impares (1, 3, 5, …), como la onda cuadrada de Fourier.
Sintetizador
La síntesis aditiva construye timbres exactamente como en la simulación: sumando armónicos con amplitudes y fases elegidas libremente.
Controles de la Simulación
- Ondas predefinidas — Carga los coeficientes correctos de Fourier para cada forma de onda.
- Frecuencia fundamental (0.5–5 Hz) — Cambia la velocidad visual; no afecta la forma ni el espectro.
- Número de armónicos (1–16) — Cuántos armónicos se suman. Con 1 → senoidal pura. Con 16 → aproximación casi perfecta.
- Amplitud por armónico — Sliders individuales para cada armónico n = 1 … N. Ajústalos libremente para crear formas de onda personalizadas.
Experimentos Guiados
Experimento 1 — Construir una onda cuadrada armónico a armónico
- Selecciona onda Cuadrada. Baja el número de armónicos a 1 y sube gradualmente.
- Con 1 armónico: senoidal pura.
- Con 2: añade el tercer armónico (n=3, amplitud 1/3). La onda ya tiene esquinas.
- Con 4: onda cuadrada reconocible. Con 8: casi perfecta. Con 16: bordes muy nítidos con el "rebote" de Gibbs visible.
- Observa el espectro (canvas inferior): solo hay barras en n=1, 3, 5, 7, … Los pares son cero.
Experimento 2 — Diferencia entre diente de sierra y triangular
- Cambia entre Diente de sierra y Triangular con 8 armónicos.
- Ambas tienen bordes, pero la triangular es más suave. ¿Por qué?
- Mira el espectro: la triangular tiene amplitudes ∝ 1/n² (decaen mucho más rápido). Los armónicos altos son casi cero.
- El diente de sierra tiene amplitudes ∝ 1/n (decaen más lento). Más energía en frecuencias altas → bordes más abruptos.
Experimento 3 — Crear un timbre personalizado
- Selecciona onda senoidal, 8 armónicos.
- Sube el armónico n=1 al máximo, n=3 a la mitad, n=5 a un cuarto. Deja el resto en cero.
- Esto simula el timbre de un clarinete (armónicos impares).
- Ahora añade algo de n=2 y n=4: el sonido se "ensucia" y suena más como un violín.
- Elimina todos los armónicos excepto n=1: onda puramente senoidal, como una flauta.
Conexiones