Teoría de Pitch-Class Sets de Allen Forte + Dinámica de partículas = Exploración sonora del universo atonal
Diciembre 2024
¿Cómo suena el espacio atonal? Este artículo presenta un sistema donde una partícula navega físicamente entre los 223 set-classes catalogados por Allen Forte en 1973. Cada set-class es un atractor gravitacional; la partícula orbita entre ellos siguiendo leyes de física simple. Cuando la partícula "cae" en un atractor, suena el conjunto de alturas correspondiente. El resultado es una exploración sonora del universo de la música atonal —un territorio que tradicionalmente solo habitaron Schönberg, Webern y Berg.
Palabras clave: Pitch-Class Set Theory, Allen Forte, música atonal, sistemas dinámicos, Z-relations, voice leading, Web Audio API
En 1908, Schönberg cruzó un umbral. Con sus Drei Klavierstücke Op. 11, abandonó la tonalidad que había organizado la música occidental durante tres siglos. Pero con la libertad vino un problema: ¿cómo orientarse en un espacio sin centro?
La tonalidad era un mapa. Sabías dónde estabas (en Do Mayor, en La menor) y hacia dónde ibas (la dominante, la tónica). La atonalidad era territorio salvaje: todas las notas igualmente válidas, ninguna jerarquía, ningún hogar.
Durante décadas, la música atonal se compuso "a oído". Los compositores desarrollaban intuiciones sobre qué combinaciones de notas funcionaban, pero no existía un marco teórico comparable a la armonía tradicional. Hasta que llegó Allen Forte.
El primer paso es radical: ignoramos las octavas. Un Do grave y un Do agudo son "el mismo" pitch class. Esto reduce las infinitas notas posibles a solo 12:
Esta simplificación captura algo profundo: cuando escuchamos Do-Mi-Sol, lo reconocemos como "acorde mayor" sin importar en qué octava suene. El pitch class captura la identidad de la nota, no su registro.
Un pitch-class set (o simplemente "set") es cualquier combinación de pitch classes. El acorde de Do Mayor es el set {0, 4, 7} (Do, Mi, Sol). Un cluster cromático podría ser {0, 1, 2, 3}.
Pero aquí viene la clave: consideramos equivalentes los sets que son:
Con estas equivalencias, los miles de combinaciones posibles se reducen a un número manejable de set-classes: familias de sets relacionados por transposición e inversión.
Cada set-class tiene una prime form (forma prima): la versión más compacta, empezando en 0. Es como poner todos los acordes "en posición fundamental".
En 1973, el teórico Allen Forte publicó The Structure of Atonal Music, un trabajo monumental que catalogó todos los set-classes posibles. El resultado: exactamente 223 set-classes distintos, organizados por cardinalidad (número de notas).
| Cardinalidad | Número de set-classes | Ejemplo |
|---|---|---|
| 3 (tríadas) | 12 | 3-11 [0,3,7] = menor |
| 4 (tétradas) | 29 | 4-27 [0,2,5,8] = dom7 |
| 5 (pentacordios) | 38 | 5-35 [0,2,4,7,9] = pentatónica |
| 6 (hexacordios) | 50 | 6-32 [0,2,4,5,7,9] = escala mayor |
Forte asignó a cada set-class un identificador único: el Forte number. El formato es X-Y donde X es la cardinalidad e Y es un número secuencial.
Este catálogo es el mapa del territorio atonal. Cada Forte number es una coordenada en el espacio de todas las sonoridades posibles.
Cada set-class tiene un interval vector (vector interválico): seis números que cuentan cuántos de cada tipo de intervalo contiene el set.
El interval vector es la "huella dactilar" del set-class. Dos sets con el mismo vector suenan similarmente tensos o consonantes, aunque contengan notas diferentes.
| Set-class | Prime Form | Interval Vector | Carácter |
|---|---|---|---|
| 3-11 | [0,3,7] | [0,0,1,1,1,0] | Consonante (menor) |
| 3-1 | [0,1,2] | [2,1,0,0,0,0] | Muy tenso (cluster) |
| 3-12 | [0,4,8] | [0,0,0,3,0,0] | Simétrico (aumentado) |
Forte descubrió algo inesperado: existen pares de set-classes con el mismo interval vector pero diferente prime form. Los llamó Z-related sets (la Z viene de "zygotic", gemelos).
En Set-Class Attractor, las Z-relations funcionan como agujeros de gusano. Cuando la partícula está en un set con Z-mate, tiene una probabilidad de "tunelizar" instantáneamente a su gemelo.
Órbita 4 (tétradas) Órbita 5 (pentacordios)
●4-Z15 ●5-Z17
↑ ↑
║ ←── Z-Portal ──→ ║
↓ ↓
●4-Z29 ●5-Z37
Este mecanismo permite saltos dramáticos en el espacio sonoro: la partícula puede estar explorando una región y súbitamente aparecer en otra estructuralmente diferente pero perceptualmente similar.
No todos los set-classes son igualmente tensos. Un cluster cromático [0,1,2] chirría; una tríada mayor [0,4,7] suena estable. ¿Podemos cuantificar esto?
Usamos el interval vector con pesos perceptuales:
En la visualización, cada set-class se colorea según su tensión:
Esto crea un mapa térmico del espacio atonal: regiones frías (consonantes) y calientes (disonantes). La partícula navega este paisaje, alternando entre zonas de tensión y relajación.
Card. 3 Card. 4 Card. 5 Card. 6
│ │ │ │
┌─┴─┐ ┌─┴─┐ ┌─┴─┐ ┌─┴─┐
│ │ │ │ │ │ │ │
🔵 🟢 🔴 🔵 🟡 🔴 🟢 🔵 🟡 🔴 🟢 🟡 🔵 🟡 🔴 🟢 🟡 🔵
│ │ │ │ │ │ │ │
└─┬─┘ └─┬─┘ └─┬─┘ └─┬─┘
│ │ │ │
└────────────────┴────────────────┴────────────────┘
│
Centro
Los 223 set-classes se distribuyen en órbitas concéntricas según su cardinalidad:
Dentro de cada órbita, los sets se ordenan por similitud de interval vector, de modo que sets vecinos suenan parecido.
La partícula experimenta varias fuerzas simultáneas:
// 1. Atracción hacia sets cercanos (ponderada por similitud)
for (const set of visibleSets) {
const similarity = 1 / (1 + distance(currentSet, set));
const attraction = STRENGTH * similarity / (dist * dist);
force += attraction * direction;
}
// 2. Snap: fuerza extra cuando está muy cerca de un atractor
if (dist < SNAP_DISTANCE) {
force += SNAP_STRENGTH * (1 - dist/SNAP_DISTANCE);
}
// 3. Escape: repulsión si lleva demasiado tiempo en un set
if (timeInCurrentSet > ESCAPE_TIME) {
force -= ESCAPE_STRENGTH * escapeRatio;
}
// 4. Wanderlust: fuerza tangencial para explorar
force += tangentDirection * WANDERLUST;
// 5. Centrípeta oscilante: para cambiar de órbita
force += radialDirection * sin(time) * CENTRIPETAL;Un problema inicial: la partícula tendía a quedar atrapada en un set o a orbitar indefinidamente una cardinalidad. Soluciones implementadas:
Cuando la partícula pasa de un set a otro, ¿cómo transicionamos las notas? Podríamos simplemente tocar el nuevo set, pero eso suena abrupto. La música real usa voice leading: las voces individuales se mueven lo mínimo posible.
Anton Webern llevó la parsimonia al extremo: cada voz se mueve por semitono o se mantiene. Nuestro sistema implementa un parámetro de smoothness (0 a 1):
// 1. Mantener notas comunes (common tones)
const commonTones = currentVoices.filter(midi =>
targetPitchClasses.includes(midi % 12)
);
// 2. Mover voces restantes por distancia mínima
for (const targetPC of remainingPCs) {
const closestVoice = findClosestUnusedVoice(targetPC);
const newMidi = moveByMinimalDistance(closestVoice, targetPC);
newVoices.push(newMidi);
}Con alta parsimonia, las transiciones suenan como metamorfosis: un acorde se transforma gradualmente en otro. Con baja parsimonia, los saltos son más dramáticos, al estilo puntillista de Webern.
La percepción musical depende de la memoria. Reconocemos una melodía porque recordamos las notas anteriores. En música atonal, donde no hay "hogar" tonal, la memoria de corto plazo es aún más crucial.
Cada vez que la partícula visita un set-class, deja un ghost trace (rastro fantasma):
Cuando la partícula regresa a territorio familiar (cerca de fantasmas existentes):
// Detectar retorno a territorio familiar
const nearbyGhosts = ghosts.filter(g =>
distance(particle, g.position) < THRESHOLD
);
if (nearbyGhosts.length > 0) {
// Efecto visual: brillar fantasmas
nearbyGhosts.forEach(g => g.brightness = 1.5);
// Efecto auditivo: aumentar reverb
audioEngine.setReverbWet(0.2 + 0.4 * intensity);
}Después de extensas sesiones de escucha, emergen comportamientos característicos:
Es importante ser honestos:
Pero logra algo notable:
Es como tener un telescopio que te permite "ver" las 223 constelaciones del universo atonal. No compone música; explora un territorio.
En 1973, Allen Forte mapeó el territorio de la atonalidad. Cincuenta años después, este proyecto permite habitarlo.
La física de partículas proporciona un mecanismo de exploración que es:
Los Z-Portals añaden una dimensión de sorpresa estructurada. Los Ghost Traces añaden memoria y retorno. El voice leading parsimonioso añade continuidad.
El resultado no es música compuesta ni ruido aleatorio. Es algo intermedio: exploración sonora guiada por la geometría del espacio atonal.
[1] Forte, A. (1973). The Structure of Atonal Music. Yale University Press.
[2] Straus, J. N. (2016). Introduction to Post-Tonal Theory (4th ed.). W. W. Norton.
[3] Rahn, J. (1980). Basic Atonal Theory. Schirmer Books.
[4] Morris, R. (1987). Composition with Pitch-Classes: A Theory of Compositional Design. Yale University Press.
[5] Lewin, D. (1987). Generalized Musical Intervals and Transformations. Yale University Press.
[6] Perle, G. (1991). Serial Composition and Atonality (6th ed.). University of California Press.
[7] Tymoczko, D. (2011). A Geometry of Music: Harmony and Counterpoint in the Extended Common Practice. Oxford University Press.
[8] Roads, C. (1996). The Computer Music Tutorial. MIT Press.