#006 Suma vs cuadrado

La suma de cuadrados de los primeros diez números es:

1² + 2² + ... + 10² = 385

El cuadrado de la suma es:

(1 + 2 + ... + 10)² = 55² = 3025

La diferencia es 3025 − 385 = 2640.

Encuentra la diferencia para los primeros 100 números naturales.

Dos cantidades diferentes

Es fácil confundir "suma de cuadrados" con "cuadrado de la suma". Son cosas muy distintas:

Suma de cuadrados

1² + 2² + 3²

= 1 + 4 + 9 = 14

≠

Cuadrado de la suma

(1 + 2 + 3)²

= 6² = 36

Verificando el ejemplo (n=10)

Suma de cuadrados

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385

Suma de 1 a 10

1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55

Cuadrado de la suma

55² = 3025

Diferencia

3025 − 385 = 2640 ✓

¿Por qué el cuadrado de la suma es mayor?

Al elevar la suma al cuadrado, obtenemos todos los productos cruzados 2×i×j que no aparecen en la suma de cuadrados.

(a + b)² = a² + 2ab + b² El término 2ab hace la diferencia

Conceptos clave

📐 Cuadrados ➕ Sumatorias ➖ Diferencia 🔢 Productos cruzados

La estrategia

Calcular ambas cantidades por separado y restar. Simple y directo.

Variante A: while con contadores

Dos acumuladores, un bucle while. Muy explícita.

Python

suma = 0                    # Para el cuadrado de la suma
suma_cuadrados = 0          # Para la suma de cuadrados
i = 1

while i <= 100:
    suma = suma + i         # Acumular número
    suma_cuadrados = suma_cuadrados + i * i  # Acumular cuadrado
    i = i + 1

cuadrado_suma = suma * suma
diferencia = cuadrado_suma - suma_cuadrados

print(f"Suma: {suma}")
print(f"Cuadrado de la suma: {cuadrado_suma}")
print(f"Suma de cuadrados: {suma_cuadrados}")
print(f"Diferencia: {diferencia}")

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Variante B: for con range

Más pythónico usando for y range.

Python

suma = 0
suma_cuadrados = 0

for i in range(1, 101):     # 1 a 100
    suma += i               # Atajo para suma = suma + i
    suma_cuadrados += i ** 2  # i ** 2 es i al cuadrado

diferencia = suma ** 2 - suma_cuadrados

print(diferencia)

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Variante C: dos bucles separados

Más claro: un bucle para cada cantidad. Menos eficiente pero más legible.

Python

# Calcular suma de 1 a 100
suma = 0
for i in range(1, 101):
    suma += i

# Calcular suma de cuadrados
suma_cuadrados = 0
for i in range(1, 101):
    suma_cuadrados += i ** 2

# Resultado
cuadrado_suma = suma ** 2
diferencia = cuadrado_suma - suma_cuadrados

print(f"{cuadrado_suma} - {suma_cuadrados} = {diferencia}")

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¿Cuál elegir?

Variante	Bucles	Ventaja
A: while	1 × 100	Muy explícita
B: for único	1 × 100	Compacta
C: for separados	2 × 100	Más clara

Resultado (las tres variantes) 25164150

Conceptos clave

`i ** 2`

Exponenciación. En Python, ** es el operador de potencia. i ** 2 es i².

`suma += i`

Asignación aumentada. Equivale a suma = suma + i. Más conciso.

`range(1, 101)`

Genera 1, 2, 3... 100. El segundo argumento es exclusivo (no incluye el 101).

Conceptos de Python aprendidos

** Exponenciación += Asignación aumentada 🔁 for range 📊 Acumuladores

sum() con generadores

Python tiene sum() integrado. Combinado con generadores, el código es muy expresivo.

Python

n = 100

suma = sum(range(1, n + 1))
suma_cuadrados = sum(i ** 2 for i in range(1, n + 1))

diferencia = suma ** 2 - suma_cuadrados

print(diferencia)

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Desglose

`sum(range(1, n + 1))`

sum() acepta cualquier iterable. range() es iterable. Suma 1+2+...+n directamente.

`sum(i ** 2 for i in range(...))`

Generator expression. Calcula i² para cada i y los suma. Sin crear lista intermedia.

Versión ultra-compacta:

sum(range(1,101))**2 - sum(i**2 for i in range(1,101))

Resultado 25164150

Conceptos aprendidos

📊 sum() 🌊 Generator expression 🔄 range() como iterable

Fórmulas cerradas

Existen fórmulas matemáticas para calcular ambas sumas sin iterar.

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 Fórmula de Gauss para la suma de naturales

1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6 Fórmula para la suma de cuadrados

Verificando con n=10

Suma = 10 × 11 / 2 = 55 ✓

Cuadrado: 55² = 3025

Suma de cuadrados = 10 × 11 × 21 / 6 = 385 ✓

2n+1 = 21 cuando n = 10

Diferencia = 3025 − 385 = 2640 ✓

Coincide con el enunciado

Python

def diferencia_suma_cuadrado(n):
    """Calcula (1+2+...+n)² - (1²+2²+...+n²) en O(1)"""

    # Fórmula de Gauss
    suma = n * (n + 1) // 2

    # Fórmula de suma de cuadrados
    suma_cuadrados = n * (n + 1) * (2 * n + 1) // 6

    return suma ** 2 - suma_cuadrados

print(f"n=10:  {diferencia_suma_cuadrado(10)}")
print(f"n=100: {diferencia_suma_cuadrado(100)}")
print(f"n=1000000: {diferencia_suma_cuadrado(1000000)}")

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Comparativa de rendimiento

Método	n = 100	n = 10⁹	Complejidad
Bucle	100 ops	10⁹ ops	O(n)
Fórmula	5 ops	5 ops	O(1)

Bucle (n = 10⁹) ~30 segundos

Fórmula (n = 10⁹) instantáneo

Resultado 25164150

Conceptos aprendidos

📐 Fórmula de Gauss 🔢 Suma de cuadrados ⏱️ O(1) 🧮 Fórmulas cerradas

Prueba con otro n

n =