#004 Palíndromo más grande

¿Qué es un palíndromo?

Un número (o palabra) que se lee igual en ambos sentidos: 121, 1331, 9009.

9 0 0 9

Verificando el ejemplo

1

91 × 99 = 9009

Ambos son números de 2 dígitos (entre 10 y 99)

2

¿9009 es palíndromo?

Al revés: 9-0-0-9 → Sí!

3

¿Es el mayor?

99 × 99 = 9801 (no es palíndromo). No hay productos mayores que sean palíndromos.

El problema real

Con 3 dígitos (100-999), hay 900 × 900 = 810.000 productos posibles. Necesitamos un algoritmo para encontrar el mayor palíndromo.

str(n) == str(n)[::-1] En Python: comparar el string con su reverso

Conceptos clave

🔤 Strings 🔄 Reverso 🔁 Bucles anidados 📊 Máximo

La estrategia

Probar todos los productos de dos números de 3 dígitos, verificar si cada producto es palíndromo, y quedarnos con el mayor.

Clave: Para verificar si un número es palíndromo, lo convertimos a string y comparamos con su reverso.

Variante A: while con contadores

Dos bucles while anidados con contadores manuales. Muy explícita, muestra cada paso.

Python

def es_palindromo(n):
    texto = str(n)              # Convertir a string
    reverso = texto[::-1]       # Invertir el string
    return texto == reverso     # Comparar

mayor = 0                       # El mayor palíndromo encontrado
i = 100                         # Primer factor

while i <= 999:
    j = 100                     # Segundo factor
    while j <= 999:
        producto = i * j
        if es_palindromo(producto):
            if producto > mayor:
                mayor = producto
        j = j + 1
    i = i + 1

print(mayor)

Pulsa "Ejecutar" para ver el resultado

Variante B: for con range

Bucles for anidados. Más compacto y pythónico.

Python

def es_palindromo(n):
    s = str(n)
    return s == s[::-1]

mayor = 0

for i in range(100, 1000):      # 100 a 999
    for j in range(100, 1000):  # 100 a 999
        producto = i * j
        if es_palindromo(producto) and producto > mayor:
            mayor = producto

print(mayor)

Pulsa "Ejecutar" para ver el resultado

Variante C: desde el mayor

Empezamos desde 999 hacia abajo. Encontramos palíndromos grandes primero (pero debemos seguir buscando).

Python

def es_palindromo(n):
    s = str(n)
    return s == s[::-1]

mayor = 0
factores = (0, 0)

for i in range(999, 99, -1):        # 999 hacia 100
    for j in range(999, 99, -1):    # 999 hacia 100
        producto = i * j
        if producto <= mayor:
            break                    # No puede mejorar
        if es_palindromo(producto):
            mayor = producto
            factores = (i, j)

print(f"{mayor} = {factores[0]} × {factores[1]}")

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¿Cuál elegir?

Variante	Iteraciones	Ventaja
A: while	810.000	Muy explícita
B: for range	810.000	Compacta
C: descendente	~menos	Early exit con break

Resultado (las tres variantes) 906609

Conceptos clave

1

`str(n)`

Conversión a string. Convierte el número 906609 en el texto "906609".

2

`texto[::-1]`

Slice inverso. El ::-1 recorre el string de atrás hacia adelante. "906609" → "906609".

3

`range(999, 99, -1)`

Range descendente. Empieza en 999, termina antes de 99, decrementando de 1 en 1.

4

`and` en condiciones

Operador lógico. Ambas condiciones deben ser verdaderas. Python evalúa de izquierda a derecha y para si encuentra False.

5

`factores = (i, j)`

Tupla. Agrupa dos valores relacionados. Accedemos con factores[0] y factores[1].

Conceptos de Python aprendidos

🔤 str() 🔀 [::-1] slice inverso 🔁 for anidados 📦 Tuplas ⬇️ range descendente

Generador + max

Usamos una expresión generadora para crear todos los palíndromos y max() para obtener el mayor.

Python

es_palindromo = lambda n: str(n) == str(n)[::-1]

resultado = max(
    i * j
    for i in range(100, 1000)
    for j in range(i, 1000)      # j >= i evita duplicados
    if es_palindromo(i * j)
)

print(resultado)

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Desglose

1

`lambda n: str(n) == str(n)[::-1]`

Función anónima en una línea. Equivale a def es_palindromo(n): return ...

2

`for j in range(i, 1000)`

j empieza en i, no en 100. Así evitamos calcular 100×999 y 999×100 (son iguales).

3

`max(...)`

Recibe un generador y devuelve el valor máximo sin crear una lista en memoria.

Aspecto	Fuerza bruta	Pythónico
Iteraciones	810.000	405.450 (sin duplicados)
Líneas	~12	7
Memoria	O(1)	O(1) (generador)

Resultado 906609

Conceptos aprendidos

λ lambda 🌊 Generator expression 📊 max() 🔄 Evitar duplicados

Estructura de un palíndromo de 6 dígitos

Un palíndromo de 6 dígitos tiene la forma abccba.

a b c c b a

abccba = 100001a + 10010b + 1100c Descomposición por posición

= 11 \times (9091a + 910b + 100c) ¡Todo palíndromo de 6 dígitos es divisible por 11!

Implicación

1

Si P = i × j y P es divisible por 11

Entonces al menos uno de i o j debe ser divisible por 11 (11 es primo).

2

Optimización

Podemos fijar uno de los factores como múltiplo de 11, reduciendo las iteraciones ~11×.

Python

def es_palindromo(n):
    s = str(n)
    return s == s[::-1]

mayor = 0
factores = (0, 0)

# i va de 999 a 100
for i in range(999, 99, -1):
    # j debe ser múltiplo de 11 (o i lo es)
    if i % 11 == 0:
        j_start = 999
        j_step = -1
    else:
        j_start = 990              # Mayor múltiplo de 11 <= 999
        j_step = -11

    for j in range(j_start, 99, j_step):
        producto = i * j
        if producto <= mayor:
            break
        if es_palindromo(producto):
            mayor = producto
            factores = (i, j)
            break                  # Encontrado para este i

print(f"{mayor} = {factores[0]} × {factores[1]}")

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Comparativa de rendimiento

Método	Iteraciones	Mejora
Fuerza bruta	810.000	—
Sin duplicados	405.450	2×
Divisibilidad por 11	~36.855	~22×

Fuerza bruta 810.000 iteraciones

Optimizado (÷11) ~36.855 iteraciones

Resultado 906609

Factores 913 × 993

Conceptos aprendidos

🔢 Divisibilidad por 11 📐 Estructura numérica ⚡ Reducción de búsqueda 🧮 Propiedades de primos

¿Qué es un palíndromo?

Verificando el ejemplo

91 × 99 = 9009

¿9009 es palíndromo?

¿Es el mayor?

El problema real

Conceptos clave

La estrategia

Variante A: while con contadores

Variante B: for con range

Variante C: desde el mayor

¿Cuál elegir?

Conceptos clave

str(n)

texto[::-1]

range(999, 99, -1)

and en condiciones

factores = (i, j)

Conceptos de Python aprendidos

Generador + max

Desglose

lambda n: str(n) == str(n)[::-1]

for j in range(i, 1000)

max(...)

Conceptos aprendidos

Estructura de un palíndromo de 6 dígitos

Implicación

Si P = i × j y P es divisible por 11

Optimización

Comparativa de rendimiento

Conceptos aprendidos

Prueba con otro número de dígitos

`str(n)`

`texto[::-1]`

`range(999, 99, -1)`

`and` en condiciones

`factores = (i, j)`

`lambda n: str(n) == str(n)[::-1]`

`for j in range(i, 1000)`

`max(...)`