Mecánica Lagrangiana
De Newton a Lagrange: una formulación más elegante
El Lagrangiano:
L = T - V
T = energía cinética
V = energía potencial
L = L(q, q̇, t)
Ecuaciones de Euler-Lagrange:
d/dt(∂L/∂q̇) - ∂L/∂q = 0
q = coordenada generalizada
q̇ = velocidad generalizada
(una ecuación por cada q)
Ejemplo: Péndulo Simple
① Coordenada generalizada:
q = θ (ángulo)
x = l·sin(θ)
y = -l·cos(θ)
② Energías:
T = ½m(ẋ² + ẏ²) = ½ml²θ̇²
V = mgy = -mgl·cos(θ)
③ Lagrangiano:
L = ½ml²θ̇² + mgl·cos(θ)
④ Derivadas parciales:
∂L/∂θ̇ = ml²θ̇
∂L/∂θ = -mgl·sin(θ)
⑤ Euler-Lagrange:
d/dt(ml²θ̇) - (-mgl·sin(θ)) = 0
ml²θ̈ + mgl·sin(θ) = 0
θ̈ + (g/l)·sin(θ) = 0
Ecuación del péndulo simple (no lineal)
S = ∫L dt
δS = 0
Hamilton
∇