El número R₀, la inmunidad de rebaño y la dinámica de los brotes
El modelo SIR divide a la población en tres compartimentos: Susceptibles, Infectados y Recuperados. Con solo dos parámetros — la tasa de transmisión β y la tasa de recuperación γ — predice si un brote se extingue, alcanza un pico o infecta a toda la población. La simulación añade espacio: los agentes se mueven, se contagian por proximidad y pueden ser puestos en cuarentena, revelando cómo la geografía modifica la dinámica.
Las ecuaciones describen flujos entre compartimentos: los susceptibles se infectan al contactar con infectados (a ritmo β·S·I/N), y los infectados se recuperan (a ritmo γ·I). La conservación S + I + R = N implica que no hay nacimientos ni muertes, solo transición entre estados.
R₀ es el número promedio de personas que infecta un caso índice en una población completamente susceptible. Es el parámetro más importante en epidemiología:
Cada infectado genera menos de un caso nuevo. La cadena de transmisión se rompe sola. El brote se extingue sin que la totalidad de la población se infecte. No es necesaria intervención.
Crecimiento exponencial inicial: I(t) ≈ I₀ · e^((β−γ)t). El pico llega cuando S/N = γ/β = 1/R₀. Después, la reducción de susceptibles frena la epidemia aunque haya infectados.
A medida que avanza el brote, la proporción de susceptibles cae. R_e = R₀ · (S/N) disminuye. Cuando R_e < 1, la epidemia decae aunque queden muchos susceptibles.
Si suficientes personas son inmunes (por infección o vacuna), R_e < 1 aunque haya susceptibles. El umbral es p_c = 1 − 1/R₀. Para sarampión (R₀≈15): p_c = 93%. Para gripe (R₀≈2): p_c = 50%.
| Enfermedad | R₀ | β (sim) | γ (sim) | Característica |
|---|---|---|---|---|
| COVID-19 (cepa original) | 2.5–3 | 0.25 | 0.03 | Transmisión moderada, recuperación lenta. Hospitales saturados en el pico. |
| Gripe estacional | 1.5–2.5 | 0.20 | 0.10 | Recuperación rápida. Brotes rápidos y cortos. Variación estacional. |
| Sarampión | 12–18 | 0.50 | 0.07 | El R₀ más alto conocido. Requiere >93% de inmunidad para control. |
| Ébola | 1.5–2.5 | 0.15 | 0.05 | Alta mortalidad, baja transmisión. Control posible con aislamiento rápido. |
La cuarentena reduce β efectivo sacando infectados de la población activa. En términos de R₀: si aislamos una fracción q de infectados, R_efectivo = R₀ · (1 − q). Para controlar un brote de COVID (R₀≈2.5), necesitamos q > 1 − 1/2.5 = 60% de los infectados aislados.
La simulación incluye toggle de cuarentena: los puntos rojos detectados se confinan y dejan de transmitir. El efecto sobre la curva de infectados es visible en tiempo real.